Calcule os momentos Mx e My e o centro de massa de uma lâmina com a densidade e o formato dados:
rho=10, R é o triangulo com vértices (0,0),(4,0) e (4,3).

Passo 1

Temos uma lâmina com densidade constante rho = 10 no triângulo R de vértices (0,0), (4,0) e (4,3). As fórmulas para os momentos em relação aos eixos são Mx = integral duplaR y,rho,dA e My = integral duplaR x,rho,dA, e o centro de massa é dado por (bar x,bar y) = (My/m,,Mx/m).

Passo 2

A reta que une (0,0) a (4,3) é y=tfrac34x, então podemos descrever
R como
0 <= x <= 4, 0 <= y <= tfrac34x
A área do triângulo é tfrac12cdot4cdot3=6, logo a massa é
m = integral duplaR rho,dA = 10times6 = 60

Passo 3

O momento My é
My = integral duplaR x,rho,dA = 10 integral0^4 integral0^tfrac34x x,dy,dx = 10 integral0^4 xl[yr]0^tfrac34x,dx = 10 integral0^4 xcdottfrac34x,dx
Calculando:
My = 10cdottfrac34 integral0^4 x^2,dx = 10cdottfrac34 cdotl[tfracx^33r]0^4 = 160

Passo 4

O momento Mx é
Mx = integral duplaR y,rho,dA = 10 integral0^4 integral0^tfrac34x y,dy,dx = 10 integral0^4 tfrac12l(tfrac34xr)^2,dx
Calculando:
Mx = 10cdottfrac12cdottfrac916 integral0^4 x^2,dx = 9032 cdotl[tfracx^33r]0^4 = 60

Passo 5

As coordenadas do centro de massa ficam
bar x = Mym = 16060 = 83, bar y = Mxm = 6060 = 1

Resposta

Mx = 60, My = 160 e o centro de massa em l(tfrac83,1r).

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