Calcule os momentos Mx e My e o centro de massa de uma lâmina com a densidade e o formato dados:
rho=3, R=(x, y) mid x-1 <= y <= raiz1-x^2, 0 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os momentos $ M_x $ e $ M_y $ e encontrar o centro de massa de uma lâmina. A lâmina tem densidade constante Mx e está no formato definido por $ R = {(x, y) \mid x-1 \leq y \leq \sqrt{1 - x^{2}}, 0 \leq x \leq 1} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como integrais duplas para determinar os momentos e, depois, encontrar o centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os momentos $ M_x $ e $ M_y $. O momento $ M_x $ representa a tendência da massa de uma região em “girar” em torno do eixo x, e $ M_y $ em torno do eixo y. Para calcular esses momentos, usamos integrais duplas da seguinte forma:
Mx
My
Além disso, o centro de massa ($ \bar{x}, \bar{y} $) é dado por:
Mx
My
Onde $ M $ é a massa total da lâmina:
Mx = rho integral duplaR y , dA

Passo 3

Vamos primeiro desenhar ou imaginar a região $ R $ para entender os limites das integrais. A região está limitada por:
  • $ y = x - 1 $ (uma reta inclinada)
  • $ y = \sqrt{1 - x^{2}} $ (a parte superior de um círculo de raio 1)
  • $ x $ varia de 0 a 1
Então, para cada $ x $ entre 0 e 1, $ y $ varia de $ x - 1 $ até $ \sqrt{1 - x^{2}} $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a massa $ M $ primeiro:
M
Calculando a integral interna:
M = rho integral duplaR dA = 3 integral0^1 integralx - 1^raiz1 - x^2 dy , dx
Então,
integralx - 1^raiz1 - x^2 dy = raiz1 - x^2 - (x - 1) = raiz1 - x^2 - x + 1
Vamos integrar termo a termo:
  1. M = 3 integral0^1 ( raiz1 - x^2 - x + 1 ) dx (área de um quarto de círculo)
  2. integral0^1 raiz1 - x^2 , dx = pi4
  3. integral0^1 (-x) , dx = -12
Então,
integral0^1 1 , dx = 1

Passo 5

Agora, vamos calcular $ M_x $ e $ M_y $.
Para $ M_x $:
Mx
Integrando em $ y $:
My
Então,
Mx
Para $ M_y $:
Mx = 3 integral duplaR y , dA = 3 integral0^1 integralx - 1^raiz1 - x^2 y , dy , dx
Como $ x $ é constante em relação a $ y $:
y
Essa integral pode ser dividida em três partes:
  1. $ 3 \int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^{2}} , dx = 3 \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{1}{2} \right) = 1 $
  2. $ 3 \int_{0}^{1} (-x^{2}) , dx = -3 \left( \frac{1}{3} \right) = -1 $
  3. $ 3 \int_{0}^{1} x , dx = 3 \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2} $
Somando:
integralx - 1^raiz1 - x^2 y , dy = 12 ( (raiz1 - x^2)^2 - (x - 1)^2 ) = 12 (1 - x^2 - (x^2 - 2x + 1)) = 12 ( -2x^2 + 2x ) = -x^2 + x

Resposta

Os momentos são $ M_x = \frac{1}{2} $, $ M_y = \frac{3}{2} $ e o centro de massa da lâmina está localizado em $ \left( \frac{3}{2M}, \frac{1}{2M} \right) $, onde $ M = 3 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right) $.

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