Calcule os momentos
e
e o centro de massa de uma lâmina com a densidade e o formato dados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os momentos $ M_x $ e $ M_y $ e encontrar o centro de massa de uma lâmina. A lâmina tem densidade constante
e está no formato definido por $ R = {(x, y) \mid x-1 \leq y \leq \sqrt{1 - x^{2}}, 0 \leq x \leq 1} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como integrais duplas para determinar os momentos e, depois, encontrar o centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os momentos $ M_x $ e $ M_y $. O momento $ M_x $ representa a tendência da massa de uma região em “girar” em torno do eixo x, e $ M_y $ em torno do eixo y. Para calcular esses momentos, usamos integrais duplas da seguinte forma:
Além disso, o centro de massa ($ \bar{x}, \bar{y} $) é dado por:
Onde $ M $ é a massa total da lâmina:
Passo 3
Vamos primeiro desenhar ou imaginar a região $ R $ para entender os limites das integrais. A região está limitada por:
- $ y = x - 1 $ (uma reta inclinada)
- $ y = \sqrt{1 - x^{2}} $ (a parte superior de um círculo de raio 1)
- $ x $ varia de 0 a 1
Então, para cada $ x $ entre 0 e 1, $ y $ varia de $ x - 1 $ até $ \sqrt{1 - x^{2}} $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a massa $ M $ primeiro:
Calculando a integral interna:
Então,
Vamos integrar termo a termo:
-
(área de um quarto de círculo) -
-
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular $ M_x $ e $ M_y $.
Para $ M_x $:
Integrando em $ y $:
Então,
Para $ M_y $:
Como $ x $ é constante em relação a $ y $:
Essa integral pode ser dividida em três partes:
- $ 3 \int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^{2}} , dx = 3 \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{1}{2} \right) = 1 $
- $ 3 \int_{0}^{1} (-x^{2}) , dx = -3 \left( \frac{1}{3} \right) = -1 $
- $ 3 \int_{0}^{1} x , dx = 3 \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2} $
Somando:
Resposta
Os momentos são $ M_x = \frac{1}{2} $, $ M_y = \frac{3}{2} $ e o centro de massa da lâmina está localizado em $ \left( \frac{3}{2M}, \frac{1}{2M} \right) $, onde $ M = 3 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right) $.