Reescreva as funções a seguir como série de MacLaurin (série de Taylor centrada em 0):
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos reescrever a função $ f(x) = e^{2x} - 1 $ como uma série de MacLaurin, que é um tipo de série de Taylor centrada em 0. Para isso, vamos precisar conhecer a expansão em série do $ e^x $ e adaptar para o nosso caso.
Passo 2
Vamos lembrar qual é a série de MacLaurin para $ e^x $. A fórmula geral para a série de MacLaurin de $ e^x $ é:
Isso significa que podemos expressar $ e^x $ como a soma infinita de $ \frac{x^n}{n!} $ para $ n $ começando de 0 até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos substituir $ x $ por $ 2x $ na série de MacLaurin de $ e^x $. Assim, temos:
Isso nos dá a série de MacLaurin para $ e^{2x} $.
Passo 4
A função que queremos é $ e^{2x} - 1 $. Sabemos que quando $ n = 0 $ na série de $ e^{2x} $, o termo é $ \frac{(2x)^0}{0!} = 1 $. Portanto, subtraindo 1, eliminamos o termo constante da série. Assim, a série de MacLaurin para $ e^{2x} - 1 $ começa a partir de $ n = 1 $:
Resposta
A série de MacLaurin para $ f(x) = e^{2x} - 1 $ é: