Calcule os momentos
e
e o centro de massa de uma lâmina com a densidade e o formato dados:
(a)
(b)
é o triangulo com vértices
e
.
(a)
(b)
Passo 1
O exercício pede para calcular os momentos de inércia estáticos (momentos em relação aos eixos Ox e Oy) e o centro de massa de uma lâmina de densidade constante, em duas regiões diferentes. Vamos usar cálculo de duplas integrais e, no caso do triângulo, também reconhecer a posição do centróide.
Passo 2
Em geral, para uma lâmina de densidade uniforme
sobre a região
, temos:
o centro de massa é
Passo 3
Para o item (a),
e
A massa é
Passo 4
Ainda em (a), calculamos
Passo 5
O centro de massa em (a) fica
Passo 6
No item (b),
e
é o triângulo de vértices
. A área vale
sendo
Como o centróide de um triângulo está na média dos vértices,
Assim
Resposta
(a)
(b)
(b)