Calcule os momentos Mx e My e o centro de massa de uma lâmina com a densidade e o formato dados:
(a) rho=3, R=(x, y) mid x-1 <= y <= raiz1-x^2, 0 <= x <= 1
(b) rho=10, R é o triangulo com vértices (0,0),(4,0) e (4,3).

Passo 1

O exercício pede para calcular os momentos de inércia estáticos (momentos em relação aos eixos Ox e Oy) e o centro de massa de uma lâmina de densidade constante, em duas regiões diferentes. Vamos usar cálculo de duplas integrais e, no caso do triângulo, também reconhecer a posição do centróide.

Passo 2

Em geral, para uma lâmina de densidade uniforme rho sobre a região R, temos:
m = integral duplaR rho,dA,
Mx = integral duplaR y,rho,dA, My = integral duplaR x,rho,dA,
o centro de massa é
bar x = Mym, bar y = Mxm

Passo 3

Para o item (a), rho=3 e
Ra=(x,y)mid x-1<= y<=raiz1-x^2,;0<= x<=1
A massa é
ma = 3integral0^1l(raiz1-x^2 - (x-1)r),dx = 3l(pi4 + 12r)

Passo 4

Ainda em (a), calculamos
Mx,a = 3integral0^1integralx-1^raiz1-x^2 y,dy,dx = 3integral0^1l(-x^2 + xr),dx = 12,
My,a = 3integral0^1xl(raiz1-x^2 - (x-1)r),dx = 32

Passo 5

O centro de massa em (a) fica
bar xa = My,ama = 2pi +2, bar ya = Mx,ama = 23(pi+2)

Passo 6

No item (b), rho=10 e Rb é o triângulo de vértices (0,0),(4,0),(4,3). A área vale
Área = 12cdot4cdot3 =6,Á
sendo
mb = 10cdot6 = 60
Como o centróide de um triângulo está na média dos vértices,
bar xb = 0+4+43=83, bar yb = 0+0+33=1
Assim
Mx,b = mb,bar yb = 60cdot1 = 60, My,b = mb,bar xb = 60cdot83=160

Resposta

(a) Mx=tfrac12, My=tfrac32, bar x=tfrac2pi+2, bar y=tfrac23(pi+2)
(b) Mx=60, My=160, bar x=tfrac83, bar y=1

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