Encontre o comprimento da curva.
(a)
(i)
(b)
(j)
©
(k)
(d)
(l)
(e)
(m)
(f)
(n)
(g)
(o)
(h)
§
(a)
(i)
(b)
(j)
©
(k)
(d)
(l)
(e)
(m)
(f)
(n)
(g)
(o)
(h)
§
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento de várias curvas (partes a até p) usando cálculo de comprimento de arco. Vamos precisar da fórmula de comprimento de curva para funções na forma y=f(x), x=g(y) e também para curvas definidas implicitamente ou parametricamente.
Passo 2
O conteúdo de Cálculo Diferencial necessário é Comprimento de Arco:
– Se y=f(x), L= .
– Se x=g(y), L= .
– Se x=x(t),y=y(t), L= .
– Se y=f(x), L=
– Se x=g(y), L=
– Se x=x(t),y=y(t), L=
Passo 3
Identificamos cada curva:
– Explícitas y=f(x): (a),(b),(e),(g),(h),(j),(k),(l),(m),(o),§.
– Inversas x=g(y): ©,(d),(i),(n).
– Implícita/Paramétrica: (f).
Em cada caso calculamos a derivada, montamos o integrando e simplificamos quando possível.
– Explícitas y=f(x): (a),(b),(e),(g),(h),(j),(k),(l),(m),(o),§.
– Inversas x=g(y): ©,(d),(i),(n).
– Implícita/Paramétrica: (f).
Em cada caso calculamos a derivada, montamos o integrando
Passo 4
Após simplificar os integrandos, algumas integrais ficam na forma elementar e podem ser calculadas exatamente; outras permanecem como integrais definidas. A seguir listamos os resultados finais para cada parte.
Resposta
(a) L=\displaystyle\int_{0}{\pi}\sqrt{1+\cos2x},dx
(i) L=\tfrac{32}{3}
(b) L=\displaystyle\int_{0}{2}\sqrt{1+(1-x)2e^{-2x}},dx
(j) L=\ln(\sqrt2+1)
© L=\displaystyle\int_{1}^{4}\sqrt{1+\bigl(\tfrac1{2\sqrt y}-1\bigr)^2},dy
(k) L=\ln(2+\sqrt3)
(d) L=\displaystyle\int_{0}{2}\sqrt{1+(2y-2)2},dy
(l) L=\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{2}\ln2
(e) L=\tfrac{2}{243}\bigl(82\sqrt{82}-1\bigr)
(m) L=\tfrac{e-e^{-1}}{2}
(f) L=\tfrac{2}{27}\bigl(55{3/2}-37{3/2}\bigr)
(n) L=\tfrac{123}{32}
(g) L=\displaystyle\int_{1}{2}\sqrt{1+\bigl(\tfrac{5x4}{6}-\tfrac{3}{10x4}\bigr)2},dx
(o) L=\ln3-\tfrac12
(h) L=\tfrac{33}{16}
§ L=\displaystyle\int_{0}{2}\sqrt{1+e{-2x}},dx