Encontre o comprimento da curva.
(a) y=sin x, 0 <= x <= pi
(i) x=13 raizy(y-3), 1 <= y <= 9
(b) y=x e^-x, 0 <= x <= 2
(j) y=ln (sec x), 0 <= x <= pi / 4
© x=raizy-y, 1 <= y <= 4
(k) y=ln (cos x), 0 <= x <= pi / 3
(d) x=y^2-2 y, 0 <= y <= 2
(l) y=14 x^2-12 ln x, 1 <= x <= 2
(e) y=1+6 x^3 / 2, 0 <= x <= 1
(m) y=12(e^x+e^-x), 0 <= x <= 1
(f) y^2=4(x+4)^3, 0 <= x <= 2, y>0
(n) x=y^44+18 y^2, 1 <= y <= 2
(g) y=x^56+110 x^3, 1 <= x <= 2
(o) y=ln (1-x^2), 0 <= x <= 12
(h) y=x^48+14 x^2, 1 <= x <= 2
§ y=1-e^-x, 0 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de várias curvas (partes a até p) usando cálculo de comprimento de arco. Vamos precisar da fórmula de comprimento de curva para funções na forma y=f(x), x=g(y) e também para curvas definidas implicitamente ou parametricamente.

Passo 2

O conteúdo de Cálculo Diferencial necessário é Comprimento de Arco:
– Se y=f(x), L= integrala^braiz1+l(f'(x)r)^2,dx.
– Se x=g(y), L= integralc^draiz1+l(g'(y)r)^2,dy.
– Se x=x(t),y=y(t), L= integralt1^t2raizl(x'r)^2+l(y'r)^2,dt.

Passo 3

Identificamos cada curva:
– Explícitas y=f(x): (a),(b),(e),(g),(h),(j),(k),(l),(m),(o),§.
– Inversas x=g(y): ©,(d),(i),(n).
– Implícita/Paramétrica: (f).
Em cada caso calculamos a derivada, montamos o integrando raiz1+(derivada)^2 e simplificamos quando possível.

Passo 4

Após simplificar os integrandos, algumas integrais ficam na forma elementar e podem ser calculadas exatamente; outras permanecem como integrais definidas. A seguir listamos os resultados finais para cada parte.

Resposta

(a) L=\displaystyle\int_{0}{\pi}\sqrt{1+\cos2x},dx
(i) L=\tfrac{32}{3}
(b) L=\displaystyle\int_{0}{2}\sqrt{1+(1-x)2e^{-2x}},dx
(j) L=\ln(\sqrt2+1)
© L=\displaystyle\int_{1}^{4}\sqrt{1+\bigl(\tfrac1{2\sqrt y}-1\bigr)^2},dy
(k) L=\ln(2+\sqrt3)
(d) L=\displaystyle\int_{0}{2}\sqrt{1+(2y-2)2},dy
(l) L=\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{2}\ln2
(e) L=\tfrac{2}{243}\bigl(82\sqrt{82}-1\bigr)
(m) L=\tfrac{e-e^{-1}}{2}
(f) L=\tfrac{2}{27}\bigl(55{3/2}-37{3/2}\bigr)
(n) L=\tfrac{123}{32}
(g) L=\displaystyle\int_{1}{2}\sqrt{1+\bigl(\tfrac{5x4}{6}-\tfrac{3}{10x4}\bigr)2},dx
(o) L=\ln3-\tfrac12
(h) L=\tfrac{33}{16}
§ L=\displaystyle\int_{0}{2}\sqrt{1+e{-2x}},dx

Exercícios relacionados