Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem e a matéria envolve o Wronskiano, que nos ajuda a entender se duas soluções são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada Identidade de Abel que relaciona o Wronskiano com os coeficientes da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções $ y_1 $ e $ y_2 $ é definido como:
Ele nos dá uma medida de quanto as duas soluções são “independentes” uma da outra. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto, as soluções são linearmente independentes nesse ponto.
Passo 3
Agora, para encontrar a forma do Wronskiano, vamos usar a Identidade de Abel. Essa identidade nos diz que, para uma equação diferencial da forma:
O Wronskiano $ W(t) $ das duas soluções satisfaz a seguinte relação:
Onde $ W(t_0) $ é o Wronskiano em algum ponto inicial $ t_0 $.
Passo 4
No nosso caso, a equação é:
Então, identificamos:
Vamos aplicar a Identidade de Abel para encontrar a forma do Wronskiano.
Passo 5
Vamos calcular a integral que aparece na expressão do Wronskiano:
Podemos simplificar eliminando a constante $ C $, já que ela será absorvida pela constante multiplicativa $ W(t_0) $.
Passo 6
Agora, substituímos na expressão do Wronskiano:
Podemos escrever isso de forma mais simples:
Onde $ C $ é uma constante que depende das condições iniciais.
Resposta
A forma do Wronskiano é dada por:
Onde $ C $ é uma constante.