Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
y^prime prime+2t y^prime+y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
y^prime prime + 2t y^prime + y = 0
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem e a matéria envolve o Wronskiano, que nos ajuda a entender se duas soluções são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada Identidade de Abel que relaciona o Wronskiano com os coeficientes da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções $ y_1 $ e $ y_2 $ é definido como:
y1
Ele nos dá uma medida de quanto as duas soluções são “independentes” uma da outra. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto, as soluções são linearmente independentes nesse ponto.

Passo 3

Agora, para encontrar a forma do Wronskiano, vamos usar a Identidade de Abel. Essa identidade nos diz que, para uma equação diferencial da forma:
y'' + P(t) y' + Q(t) y = 0
O Wronskiano $ W(t) $ das duas soluções satisfaz a seguinte relação:
W(t)
Onde $ W(t_0) $ é o Wronskiano em algum ponto inicial $ t_0 $.

Passo 4

No nosso caso, a equação é:
y'' + 2t y' + y = 0
Então, identificamos:
P(t) = 2t
Vamos aplicar a Identidade de Abel para encontrar a forma do Wronskiano.

Passo 5

Vamos calcular a integral que aparece na expressão do Wronskiano:
integral P(s) , ds = integral 2s , ds = 2 ln |s| + C
Podemos simplificar eliminando a constante $ C $, já que ela será absorvida pela constante multiplicativa $ W(t_0) $.

Passo 6

Agora, substituímos na expressão do Wronskiano:
W(t) = W(t0) cdot e^-2 ln t = W(t0) cdot t^-2
Podemos escrever isso de forma mais simples:
W(t) = Ct^2
Onde $ C $ é uma constante que depende das condições iniciais.

Resposta

A forma do Wronskiano é dada por:
W(t) = Ct^2
Onde $ C $ é uma constante.

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