Calcule os momentos e os centros de massa do sistema de objetos que têm massas 3 , 4 e 8 nos pontos
e
, respectivamente.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de três massas pontuais e pede para calcular os momentos e os centros de massa. Dados fornecidos:
- Massa
no ponto . - Massa
no ponto . - Massa
no ponto .
O que precisa ser calculado:
- O momento do sistema em relação ao eixo
(isto é, ). - O momento do sistema em relação ao eixo
(isto é, ). - O centro de massa
do sistema.
Passo 2
Vou relembrar e explicar passo a passo as fórmulas que vamos usar (sem pular etapas).
- A massa total do sistema é a soma das massas:
onde
são as massas dos pontos. Aqui
é um número que representa a massa total.
- O momento estático em relação ao eixo
é definido por
onde
é a coordenada
do ponto onde está a massa
. Esse momento mede “quanto” as massas estão espalhadas em
(com sinais, porque posições negativas reduzem o momento).
- O momento estático em relação ao eixo
é definido por
onde
é a coordenada
do ponto onde está a massa
.
- O centro de massa tem coordenadas dadas por
Aqui
e
são as coordenadas do ponto que representa o “equilíbrio médio” das massas.
Explicação intuitiva curta: em
cada massa contribui proporcionalmente ao seu
e ao seu peso; divisões por
normalizam para um único ponto.
Passo 3
Calcular a massa total
somando as três massas (mostrando cada operação):
Agora a soma:
Passo 4
Calcular o momento em relação ao eixo
, isto é
. Vou calcular cada termo separadamente e depois somar:
- Para
em :
- Para
em :
- Para
em :
Somando os termos:
Fazendo a adição passo a passo:
Portanto
Passo 5
Calcular o momento em relação ao eixo
, isto é
. Novamente, cada termo separado:
- Para
em :
- Para
em :
- Para
em :
Somando:
Passo a passo:
Logo
Passo 6
Calcular o centro de massa usando as fórmulas
e
.
- Para
:
Se alguém preferir em decimal, isso é aproximadamente
mas em prova a fração
é geralmente a forma exata desejada.
- Para
:
Interpretação rápida e encorajamento: o centro de massa está em
em torno de
, ou seja, deslocado para a direita do eixo
porque a massa maior
está em
. Em
o centro ficou exatamente em
porque as contribuições positivas e negativas se equilibraram para dar exatamente
no numerador e
no denominador.
Passo 7
Resumo do procedimento (para lembrar na hora da prova):
- Some as massas para obter
. - Calcule
e somando termo a termo (mostrar cada produto ajuda a evitar erro). - Divida cada soma pela massa total para obter
e .
Pronto — procedimento simples e muito útil para qualquer conjunto de massas pontuais. Vai dar certo!