Calcule os momentos e os centros de massa do sistema de objetos que têm massas 3 , 4 e 8 nos pontos (-1,1),(2,-1) e (3,2), respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três massas pontuais e pede para calcular os momentos e os centros de massa. Dados fornecidos:
  • Massa m_1 = 3 no ponto (-1,1).
  • Massa m_2 = 4 no ponto (2,-1).
  • Massa m_3 = 8 no ponto (3,2).
O que precisa ser calculado:
  • O momento do sistema em relação ao eixo y (isto é, \sum m_i x_i).
  • O momento do sistema em relação ao eixo x (isto é, \sum m_i y_i).
  • O centro de massa (\bar{x},\bar{y}) do sistema.

Passo 2

Vou relembrar e explicar passo a passo as fórmulas que vamos usar (sem pular etapas).
  • A massa total do sistema é a soma das massas:
M=\sum_i m_i,
onde m_i são as massas dos pontos. Aqui M é um número que representa a massa total.
  • O momento estático em relação ao eixo y é definido por
M_y=\sum_i m_i x_i,
onde x_i é a coordenada x do ponto onde está a massa m_i. Esse momento mede “quanto” as massas estão espalhadas em x (com sinais, porque posições negativas reduzem o momento).
  • O momento estático em relação ao eixo x é definido por
M_x=\sum_i m_i y_i,
onde y_i é a coordenada y do ponto onde está a massa m_i.
  • O centro de massa tem coordenadas dadas por
\bar{x}=\frac{M_y}{M},\qquad \bar{y}=\frac{M_x}{M}.
Aqui \bar{x} e \bar{y} são as coordenadas do ponto que representa o “equilíbrio médio” das massas.
Explicação intuitiva curta: em \bar{x} cada massa contribui proporcionalmente ao seu x e ao seu peso; divisões por M normalizam para um único ponto.

Passo 3

Calcular a massa total M somando as três massas (mostrando cada operação):
M = m_1 + m_2 + m_3 = 3 + 4 + 8.
Agora a soma:
M = 15.

Passo 4

Calcular o momento em relação ao eixo y, isto é \sum m_i x_i. Vou calcular cada termo separadamente e depois somar:
  • Para m_1=3 em x_1=-1:
m_1 x_1 = 3\cdot(-1) = -3.
  • Para m_2=4 em x_2=2:
m_2 x_2 = 4\cdot 2 = 8.
  • Para m_3=8 em x_3=3:
m_3 x_3 = 8\cdot 3 = 24.
Somando os termos:
M_y = -3 + 8 + 24.
Fazendo a adição passo a passo:
-3 + 8 = 5,
5 + 24 = 29.
Portanto
M_y = 29.

Passo 5

Calcular o momento em relação ao eixo x, isto é \sum m_i y_i. Novamente, cada termo separado:
  • Para m_1=3 em y_1=1:
m_1 y_1 = 3\cdot 1 = 3.
  • Para m_2=4 em y_2=-1:
m_2 y_2 = 4\cdot(-1) = -4.
  • Para m_3=8 em y_3=2:
m_3 y_3 = 8\cdot 2 = 16.
Somando:
M_x = 3 + (-4) + 16.
Passo a passo:
3 + (-4) = -1,
-1 + 16 = 15.
Logo
M_x = 15.

Passo 6

Calcular o centro de massa usando as fórmulas \bar{x}=\dfrac{M_y}{M} e \bar{y}=\dfrac{M_x}{M}.
  • Para \bar{x}:
\bar{x} = \frac{M_y}{M} = \frac{29}{15}.
Se alguém preferir em decimal, isso é aproximadamente
\bar{x}\approx 1{,}933\overline{3},
mas em prova a fração \dfrac{29}{15} é geralmente a forma exata desejada.
  • Para \bar{y}:
\bar{y} = \frac{M_x}{M} = \frac{15}{15} = 1.
Interpretação rápida e encorajamento: o centro de massa está em x em torno de 1{,}93, ou seja, deslocado para a direita do eixo y porque a massa maior 8 está em x=3. Em y o centro ficou exatamente em 1 porque as contribuições positivas e negativas se equilibraram para dar exatamente 15 no numerador e 15 no denominador.

Passo 7

Resumo do procedimento (para lembrar na hora da prova):
  • Some as massas para obter M.
  • Calcule \sum m_i x_i e \sum m_i y_i somando termo a termo (mostrar cada produto ajuda a evitar erro).
  • Divida cada soma pela massa total para obter \bar{x} e \bar{y}.
Pronto — procedimento simples e muito útil para qualquer conjunto de massas pontuais. Vai dar certo!

Resposta

M = 15
M_y=\sum m_i x_i = 29
M_x=\sum m_i y_i = 15
\bar{x}=\frac{29}{15},\qquad \bar{y}=1

Exercícios relacionados