Forneça um intervalo fechado que contenha o valor da integral dupla dada.
\quad \iint_{R} \sqrt{x+y} d A, R=\{(x, y) \mid 4 \leq x \leq 9 e 1 \leq y \leq 4\}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece a integral dupla \iint_{R} \sqrt{x+y}\,dA.
  • A região R é o retângulo dado por \{(x,y)\mid 4 \le x \le 9,\; 1 \le y \le 4\}.
  • A pergunta: fornecer um intervalo fechado que contenha o valor da integral dupla (ou seja, encontrar números a e b tais que \iint_{R} \sqrt{x+y}\,dA \in [a,b]).

Passo 2

Ideia principal (explicada calmamente): quando uma função f(x,y) tem valores entre m e M em uma região R, a integral dupla de f sobre R fica entre m vezes a área de R e M vezes a área de R. Vou aplicar isso a f(x,y)=\sqrt{x+y}.
Primeiro preciso encontrar o menor e o maior valor que \sqrt{x+y} assume em R. A função t\mapsto \sqrt{t} é crescente, então basta olhar os extremos de x+y sobre o retângulo.
  • O menor valor de x+y ocorre no canto com menores coordenadas: (x,y)=(4,1). Logo o mínimo é 4+1=5.
  • O maior valor de x+y ocorre no canto com maiores coordenadas: (x,y)=(9,4). Logo o máximo é 9+4=13.
Portanto os extremos da função são
m=\sqrt{5}\qquad\text{e}\qquad M=\sqrt{13}.

Passo 3

Vou enunciar e justificar a desigualdade usada (é um resultado padrão para integrais múltiplas, explicadinho):
Se uma função f satisfaz m \le f(x,y) \le M para todo (x,y)\in R, então, usando que a integral de uma constante é a constante vezes a área, tem-se
m\cdot \text{Area}(R)\le \iint_{R} f(x,y)\,dA \le M\cdot \text{Area}(R).
Intuição: em cada pedacinho infinitesimal dA, f(x,y) vale entre m e M; somando (integrando) sobre toda a região, a soma fica entre somar m em cada pedacinho e somar M em cada pedacinho.
No nosso caso, com f(x,y)=\sqrt{x+y}, já encontramos m=\sqrt{5} e M=\sqrt{13}, então
\sqrt{5}\cdot\text{Area}(R)\le \iint_{R}\sqrt{x+y}\,dA \le \sqrt{13}\cdot\text{Area}(R).

Passo 4

Calcular a área do retângulo R. A largura em x é 9-4 e em y é 4-1. Então
\text{Area}(R)=(9-4)(4-1)=5\cdot 3=15.
Multiplicando pelos extremos obtidos:
\text{limite inferior} = 15\sqrt{5}, \qquad \text{limite superior} = 15\sqrt{13}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida: a desigualdade fica
15\sqrt{5}\le \iint_{R}\sqrt{x+y}\,dA \le 15\sqrt{13}.
Isso é um intervalo fechado [15\sqrt{5},\,15\sqrt{13}] que certamente contém o valor da integral. Se quiser uma ideia numérica rápida (só para intuição): \sqrt{5}\approx 2,236 e \sqrt{13}\approx 3,606, então os limites numéricos seriam aproximadamente 15\cdot2,236\approx 33,54 e 15\cdot3,606\approx 54,09. Mas a resposta exata é melhor escrita em termos de radicais.

Resposta

[15\sqrt{5},\,15\sqrt{13}]

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