Forneça um intervalo fechado que contenha o valor da integral dupla dada.
e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fornece a integral dupla
. - A região
é o retângulo dado por . - A pergunta: fornecer um intervalo fechado que contenha o valor da integral dupla (ou seja, encontrar números
e tais que ).
Passo 2
Ideia principal (explicada calmamente): quando uma função
tem valores entre
e
em uma região
, a integral dupla de
sobre
fica entre
vezes a área de
e
vezes a área de
. Vou aplicar isso a
.
Primeiro preciso encontrar o menor e o maior valor que
assume em
. A função
é crescente, então basta olhar os extremos de
sobre o retângulo.
- O menor valor de
ocorre no canto com menores coordenadas: . Logo o mínimo é . - O maior valor de
ocorre no canto com maiores coordenadas: . Logo o máximo é .
Portanto os extremos da função são
Passo 3
Vou enunciar e justificar a desigualdade usada (é um resultado padrão para integrais múltiplas, explicadinho):
Se uma função
satisfaz
para todo
, então, usando que a integral de uma constante é a constante vezes a área, tem-se
Intuição: em cada pedacinho infinitesimal
,
vale entre
e
; somando (integrando) sobre toda a região, a soma fica entre somar
em cada pedacinho e somar
em cada pedacinho.
No nosso caso, com
, já encontramos
e
, então
Passo 4
Calcular a área do retângulo
. A largura em
é
e em
é
. Então
Multiplicando pelos extremos obtidos:
Passo 5
Interpretação e verificação rápida: a desigualdade fica
Isso é um intervalo fechado
que certamente contém o valor da integral. Se quiser uma ideia numérica rápida (só para intuição):
e
, então os limites numéricos seriam aproximadamente
e
. Mas a resposta exata é melhor escrita em termos de radicais.