Qual a energia cinética média das moléculas de 10 mols de um gás perfeito, na temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C} ? E na temperatura de 100 K ? Considere \mathbf{R = 8 , 3 1} \mathbf{J / m o l . K}. Resp: 46,5 \mathrm{~kJ} ; 12,5 \mathrm{~kJ}

Passo 1

O enunciado pede a energia cinética média das moléculas de 10 mols de um gás perfeito em duas temperaturas diferentes. Dados fornecidos:
  • quantidade de matéria: n = 10\\ \mathrm{mol},
  • temperaturas: 100^\circ\mathrm{C} e 100\\ \mathrm{K},
  • constante dos gases: R = 8,31\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} (valor dado no enunciado).
    Pergunta explícita: calcular a energia cinética média (total das moléculas contidas em 10 mols) nas duas temperaturas indicadas.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): para um gás ideal clássico, a energia cinética média por molécula, associada ao movimento translacional, é dada pela relação da equipartição de energia:
\bar{\varepsilon}=\frac{3}{2}k_B T,
onde \bar{\varepsilon} é a energia cinética média por molécula, k_B é a constante de Boltzmann e T é a temperatura em kelvin.
Como normalmente trabalhamos por mol, multiplicamos por N_A (número de Avogadro) e usamos k_B N_A = R. Assim obtemos a energia cinética média por mol:
\bar{E}_{\text{mol}}=\frac{3}{2}R T.
Explicando as variáveis: \bar{E}_{\text{mol}} = energia cinética média por mol (unidade: \mathrm{J/mol}), R = constante dos gases ( \mathrm{J/(mol\cdot K)}), T = temperatura em \mathrm{K}. A razão \tfrac{3}{2} vem de termos três graus de liberdade translacionais (movimento em x,y,z) e pela regra da equipartição (cada grau dá \tfrac{1}{2}k_B T por molécula).

Passo 3

Energia total das moléculas em n mols: multiplicamos a energia por mol pelo número de mols:
E_{\text{total}} = n\cdot \frac{3}{2} R T.
Aqui E_{\text{total}} tem unidade de joules ( \mathrm{J}). É essa fórmula que vamos aplicar com n=10.

Passo 4

Converter a temperatura de 100^\circ\mathrm{C} para kelvin:
T_1 = 100 + 273,15 = 373,15\\ \mathrm{K}.
A segunda temperatura já está em kelvin:
T_2 = 100\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular o prefator \tfrac{3}{2}R:
\frac{3}{2}R = 1,5 \times 8,31 = 12,465\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Isso significa que a energia por mol é 12,465 vezes a temperatura em kelvin.

Passo 6

Energia total em T_1 = 373,15\\ \mathrm{K}:
primeiro a energia por mol:
\bar{E}_{\text{mol}}(T_1)=12,465\times 373,15.
Vamos fazer a multiplicação em passos:
12,465\times 373,15 = 12,465\times 373 + 12,465\times 0,15
12,465\times 373 = 4\,649,445\quad\text{e}\quad 12,465\times 0,15 = 1,86975,
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\bar{E}_{\text{mol}}(T_1)=4\,651,31475\\ \mathrm{J/mol}.
Energia total para n=10 mols:
E_{\text{total}}(T_1)=10\times 4\,651,31475 = 46\,513,1475\\ \mathrm{J}=46,5131475\\ \mathrm{kJ}.
Arredondando de forma compatível com o enunciado:
E_{\text{total}}(T_1)\approx 46,5\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Energia total em T_2 = 100\\ \mathrm{K}:
energia por mol:
\bar{E}_{\text{mol}}(T_2)=12,465\times 100 = 1\,246,5\\ \mathrm{J/mol}.
energia total para 10 mols:
E_{\text{total}}(T_2)=10\times 1\,246,5 = 12\,465\\ \mathrm{J}=12,465\\ \mathrm{kJ}.
Arredondando:
E_{\text{total}}(T_2)\approx 12,5\\ \mathrm{kJ}.

Passo 8

Resumo rápido do raciocínio para você lembrar na prova: a energia cinética média total de n mols é n\cdot \tfrac{3}{2}RT. Convertendo Celsius para Kelvin quando necessário e multiplicando dá direto a resposta em joules (depois converte para kJ). Você aplicou a equipartição (três graus de liberdade translacionais) e usou R dado.

Resposta

46,5\\ \mathrm{kJ}
12,5\\ \mathrm{kJ}

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