Calcule: Mostre que, para fótons com energia muito elevada, o valor da energia do fóton retroespalhado por efeito Compton aproxima-se de m c^2 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, quando um fóton tem uma energia bem alta, a energia dele depois de ser retroespalhado pelo efeito Compton fica perto de $ \frac{m c^{2}}{2} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do efeito Compton e entender um pouquinho sobre como a energia do fóton muda durante a dispersão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a energia de um fóton muda no efeito Compton. A fórmula geral para a energia do fóton após a espalhamento é:
E' = E1 + Em c^2 (1 - cos theta)
Aqui, $ E $ é a energia inicial do fóton, $ E’ $ é a energia do fóton após o espalhamento, $ m $ é a massa do elétron, $ c $ é a velocidade da luz e $ \theta $ é o ângulo de espalhamento.

Passo 3

Como estamos falando de retroespalhamento, o ângulo $ \theta $ é de $ 180^\circ $. Vamos substituir $ \theta = 180^\circ $ na fórmula. Sabemos que $ \cos 180^\circ = -1 $, então:
theta
Substituindo isso na fórmula da energia:
180^circ

Passo 4

Agora, a questão fala que a energia do fóton é “muito elevada”, ou seja, $ E $ é bem maior que $ m c^{2} $ ($ E \gg m c^{2} $). Nesse caso, o termo $ \frac{2E}{m c^{2}} $ vai ser muito grande comparado a 1, então podemos ignorar o 1 na soma:
E

Passo 5

Então, quando a energia do fóton inicial é muito alta, a energia do fóton retroespalhado se aproxima de $ \frac{m c^{2}}{2} $.

Resposta

Para fótons com energia muito elevada, a energia do fóton retroespalhado por efeito Compton aproxima-se de $ \frac{m c^{2}}{2} $.

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