A equação básica para o efeito Compton pode ser obtida utilizando os princípios de conservação do momento e da energia e é expressa por
em que
é o aumento no comprimento de onda do fóton,
é o comprimento de onda de Compton e
é o ângulo de espalhamento do fóton.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão trata do Efeito Compton, que explica como a luz (fótons) interage com elétrons, resultando numa mudança no comprimento de onda da luz. A equação que temos é:
Aqui,
é o aumento no comprimento de onda do fóton,
é o comprimento de onda de Compton, e
é o ângulo de espalhamento do fóton. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de conservação de energia e conservação de momento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada parte da equação. O que significa
? É simplesmente a diferença entre o comprimento de onda inicial e o final do fóton após interagir com o elétron. Já
, o comprimento de onda de Compton, é uma constante que depende da massa do elétron e pode ser calculada usando:
Onde:
-
é a constante de Planck, -
é a massa do elétron, -
é a velocidade da luz.
Passo 3
Para chegar na equação do efeito Compton, precisamos usar os princípios de conservação de energia e conservação de momento. Imaginemos que temos um fóton com energia e momento interceptando um elétron que está inicialmente em repouso. Após a colisão, o fóton muda de direção e comprimento de onda, e o elétron começa a se mover.
Passo 4
Conservação de Energia:
A energia total do sistema antes da colisão deve ser igual à energia total após a colisão.
A energia total do sistema antes da colisão deve ser igual à energia total após a colisão.
Antes:
- Energia do fóton:
- Energia do elétron:
(energia de repouso)
Depois:
- Energia do fóton espalhado:
- Energia do elétron em movimento:
Conservação do Momento:
O momento total antes deve ser igual ao momento total após a colisão. Como o elétron está em repouso inicialmente, só consideramos o momento do fóton.
O momento total antes deve ser igual ao momento total após a colisão. Como o elétron está em repouso inicialmente, só consideramos o momento do fóton.
Antes:
- Momento do fóton inicial:
Depois:
- Momento do fóton final:
- Momento do elétron:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar essas equações para encontrar a variação no comprimento de onda (
). Ao resolver as equações de conservação de energia e momento, usando trigonometria para decompor os vetores de momento, chegamos a uma relação que liga
com o ângulo de espalhamento
.
Isso envolve alguns passos de álgebra e manipulação de termos, mas o resultado final nos dá a equação do efeito Compton:
Resposta
O aumento no comprimento de onda do fóton devido ao efeito Compton é dado por: