A seção de choque diferencial por unidade de ângulo sólido d(e^sigmaT h) / d Omega para espalhamento Thomson é dada por
d(e^sigmaT h)d Omega=re^22(1+cos ^2 theta)
em que re=2,818 fm e theta o é ângulo de espalhamento do fóton. Calcule a seção de choque eletrônica total.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre espalhamento Thomson, que é um tipo de interação entre fótons (partículas de luz) e elétrons. A gente tem uma fórmula para a seção de choque diferencial, que basicamente nos diz a probabilidade desse espalhamento acontecer em um certo ângulo sólido. Nosso objetivo aqui é encontrar a seção de choque total, ou seja, a probabilidade total desse processo ocorrer, somando todas as direções possíveis de espalhamento. Para isso, vamos precisar integrar a seção de choque diferencial sobre todo o ângulo sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula dada:
dsigmaThdOmega = re^22 (1 + cos^2 theta)
Aqui, $ \frac{d\sigma_{Th}}{d\Omega} $ é a seção de choque diferencial, $ r_e $ é o raio clássico do elétron, e $ \theta $ é o ângulo de espalhamento do fóton.

Passo 3

Para encontrar a seção de choque total $ \sigma_{Th} $, precisamos integrar $ \frac{d\sigma_{Th}}{d\Omega} $ sobre todo o ângulo sólido $ \Omega $. A fórmula geral para a seção de choque total é:
sigmaTh

Passo 4

Sabemos que, em coordenadas esféricas, o elemento de ângulo sólido $ d\Omega $ é dado por:
dOmega
Aqui, $ \theta $ varia de 0 a $ \pi $ e $ \phi $ varia de 0 a $ 2\pi $.

Passo 5

Vamos substituir $ \frac{d\sigma_{Th}}{d\Omega} $ e $ d\Omega $ na integral:
dsigmaThdOmega

Passo 6

Primeiro, vamos integrar em relação a $ \phi $. Como a expressão não depende de $ \phi $, a integral fica:
phi
Então, a equação simplifica para:
phi
Simplificando os fatores:
integral0^2pi dphi = 2pi

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral0^pi (1 + cos^2 theta) sin theta , dtheta
Fazendo uma substituição simples, seja $ u = \cos \theta $, então $ du = -\sin \theta , d\theta $. Quando $ \theta = 0 $, $ u = 1 $; e quando $ \theta = \pi $, $ u = -1 $.
Substituindo:
u = cos theta

Passo 8

Agora, resolvemos a integral:
integral-1^1 (1 + u^2) du = [ u + u^33 ]-1^1 = (1 + 13) - (-1 + (-1)^33) = 43 - (-23) = 2

Passo 9

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão da seção de choque total:
sigmaTh = pi re^2 cdot 2 = 2pi re^2

Passo 10

Agora, vamos substituir o valor de $ r_e $:
re
Então:
re = 2,818 , fm = 2,818 times 10^-15 , m

Resposta

A seção de choque eletrônica total para espalhamento Thomson é aproximadamente $ 4,989 \times 10^{-29} , m^{2} $.

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