A seção de choque diferencial por unidade de ângulo sólido
para espalhamento Thomson é dada por
em que
e
o é ângulo de espalhamento do fóton. Calcule a seção de choque eletrônica total.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre espalhamento Thomson, que é um tipo de interação entre fótons (partículas de luz) e elétrons. A gente tem uma fórmula para a seção de choque diferencial, que basicamente nos diz a probabilidade desse espalhamento acontecer em um certo ângulo sólido. Nosso objetivo aqui é encontrar a seção de choque total, ou seja, a probabilidade total desse processo ocorrer, somando todas as direções possíveis de espalhamento. Para isso, vamos precisar integrar a seção de choque diferencial sobre todo o ângulo sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula dada:
Aqui, $ \frac{d\sigma_{Th}}{d\Omega} $ é a seção de choque diferencial, $ r_e $ é o raio clássico do elétron, e $ \theta $ é o ângulo de espalhamento do fóton.
Passo 3
Para encontrar a seção de choque total $ \sigma_{Th} $, precisamos integrar $ \frac{d\sigma_{Th}}{d\Omega} $ sobre todo o ângulo sólido $ \Omega $. A fórmula geral para a seção de choque total é:
Passo 4
Sabemos que, em coordenadas esféricas, o elemento de ângulo sólido $ d\Omega $ é dado por:
Aqui, $ \theta $ varia de 0 a $ \pi $ e $ \phi $ varia de 0 a $ 2\pi $.
Passo 5
Vamos substituir $ \frac{d\sigma_{Th}}{d\Omega} $ e $ d\Omega $ na integral:
Passo 6
Primeiro, vamos integrar em relação a $ \phi $. Como a expressão não depende de $ \phi $, a integral fica:
Então, a equação simplifica para:
Simplificando os fatores:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Fazendo uma substituição simples, seja $ u = \cos \theta $, então $ du = -\sin \theta , d\theta $. Quando $ \theta = 0 $, $ u = 1 $; e quando $ \theta = \pi $, $ u = -1 $.
Substituindo:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral:
Passo 9
Substituindo o resultado da integral de volta na expressão da seção de choque total:
Passo 10
Agora, vamos substituir o valor de $ r_e $:
Então:
Resposta
A seção de choque eletrônica total para espalhamento Thomson é aproximadamente $ 4,989 \times 10^{-29} , m^{2} $.