Calcule o movimento de uma partícula de massa m que desloca-se sobre o eixo 0 x, sujeita a uma força F(t)=1 /(t+1), sabendo que no instante t=0 ela está na origem e sua velocidade é nula.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que temos: uma partícula de massa m move-se ao longo do eixo x sob a ação de uma força dependente do tempo F(t)=tfrac1t+1. As condições iniciais são x(0)=0 e v(0)=0. Para resolver, vamos usar a segunda lei de Newton e depois integrar para obter velocidade e posição.

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton, escrevemos:
m,d^2xdt^2=1t+1
Logo, a aceleração é
a(t)=d^2xdt^2=1m(t+1)

Passo 3

Agora integramos a aceleração para achar a velocidade. Usando v(t)=integral0^t a(s),ds+v(0) e sabendo que v(0)=0, temos:
v(t)=1mintegral0^t1s+1,ds=1ml[ln(s+1)r]0^t=1mln(t+1)

Passo 4

Em seguida, integramos v(t) para obter a posição. Como x(t)=integral0^t v(s),ds+x(0) e x(0)=0,
x(t)=1mintegral0^tln(s+1),ds

Passo 5

Fazendo a integral por partes ou substituição, chega-se a
integral0^tln(1+s),ds=(t+1)ln(t+1)-t
Portanto a posição é
x(t)=(t+1)ln(t+1)-tm

Resposta

A velocidade e a posição da partícula são:
v(t)=1mln(t+1),
$$x(t)=\frac{(t+1)\ln(t+1)-t}{m}.
$$

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