Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e basquete, 22 jogam basquete e futebol, 18 jogam vôlei e futebol, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam basquete é igual ao número de pessoas que jogam futebol. Pergunta-se:
a) Quantos jogam futebol e não jogam vôlei?
b) Quantos jogam basquete e não jogam vôlei?
c) Quantos jogam vôlei e não jogam basquete?

Passo 1

O enunciado fala de três conjuntos de esportistas: quem joga vôlei (V), basquete (B) e futebol (F) num total de 99 pessoas, com os seguintes dados: |V|=40, |Vcap B|=20, |Bcap F|=22, |Vcap F|=18, |Vcap Bcap F|=11 e ainda |B|=|F|. A matéria é princípio da inclusão-exclusão e operações com conjuntos, e vamos precisar usar a fórmula de união de três conjuntos para descobrir |B|=|F|.

Passo 2

Denotando |B|=|F|=x, aplicamos o princípio da inclusão-exclusão para a união Vcup Bcup F. Como presumimos que todo mundo joga pelo menos uma dessas três modalidades, temos:
|Vcup Bcup F| = |V| + |B| + |F| - (|Vcap B| + |Bcap F| + |Vcap F|) + |Vcap Bcap F| = 99
Substituindo os valores conhecidos e |B|=|F|=x:
99 = 40 + x + x - (20 + 22 + 18) + 11 = 2x - 9
Resolvendo para x:
2x - 9 = 99 Longrightarrow 2x = 108 Longrightarrow x = 54
Agora temos |B|=|F|=54. Para cada pergunta, usamos a definição de diferença de conjuntos: |Fsetminus V| = |F| - |Fcap V|, e de forma análoga para as outras.

Passo 3

Calculamos:
Para (a) |Fcap V^c| = |F| - |Fcap V| = 54 - 18 = 36.
Para (b) |Bcap V^c| = |B| - |Bcap V| = 54 - 20 = 34.
Para © |Vcap B^c| = |V| - |Vcap B| = 40 - 20 = 20.

Resposta

a) 36 b) 34 c) 20

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