Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e basquete, 22 jogam basquete e futebol, 18 jogam vôlei e futebol, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam basquete é igual ao número de pessoas que jogam futebol. Pergunta-se:
a) Quantos jogam futebol e não jogam vôlei?
b) Quantos jogam basquete e não jogam vôlei?
c) Quantos jogam vôlei e não jogam basquete?
a) Quantos jogam futebol e não jogam vôlei?
b) Quantos jogam basquete e não jogam vôlei?
c) Quantos jogam vôlei e não jogam basquete?
Passo 1
O enunciado fala de três conjuntos de esportistas: quem joga vôlei (V), basquete (B) e futebol (F) num total de 99 pessoas, com os seguintes dados:
,
,
,
,
e ainda
. A matéria é princípio da inclusão-exclusão e operações com conjuntos, e vamos precisar usar a fórmula de união de três conjuntos para descobrir
.
Passo 2
Denotando
, aplicamos o princípio da inclusão-exclusão para a união
. Como presumimos que todo mundo joga pelo menos uma dessas três modalidades, temos:
Substituindo os valores conhecidos e
:
Resolvendo para
:
Agora temos
. Para cada pergunta, usamos a definição de diferença de conjuntos:
, e de forma análoga para as outras.
Passo 3
Calculamos:
Para (a) .
Para (b) .
Para © .
Para (a)
Para (b)
Para ©
Resposta
a) 36 b) 34 c) 20