Calcule o movimento de uma partícula de massa
que desloca-se sobre o eixo
, sujeita a uma força
, sabendo que no instante
ela está na origem e sua velocidade é
.
Passo 1
O enunciado pede para achar a posição x(t) de uma partícula de massa m sujeita à força F(t)=1/(t+1)³, com x(0)=0 e v(0)=–1/2. O conteúdo é a segunda lei de Newton (EDO de 2º ordem) e vamos precisar integrá-la duas vezes: primeiro para obter v(t) e depois para obter x(t).
Passo 2
Pela segunda lei de Newton temos que
Logo a aceleração é
e vamos integrar em t para achar a velocidade.
Passo 3
Usando a condição inicial v(0)=–1/2, escrevemos
Sabemos que
Portanto
Simplificando,
ou ainda
Passo 4
Agora integramos v(t) para obter x(t), usando x(0)=0:
Substituindo v(s):
Dividimos em partes:
-
. -
. -
.
Somando tudo, fica
que é a posição procurada.
Resposta
x(t)= -\tfrac{t}{2}+\tfrac{t}{2m}+\tfrac{1}{2m}\Bigl(\tfrac{1}{t+1}-1\Bigr)