Calcule o movimento de uma partícula de massa m que desloca-se sobre o eixo 0 x, sujeita a uma força F(t)=1 /(t+1)^3, sabendo que no instante t=0 ela está na origem e sua velocidade é v0=-1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para achar a posição x(t) de uma partícula de massa m sujeita à força F(t)=1/(t+1)³, com x(0)=0 e v(0)=–1/2. O conteúdo é a segunda lei de Newton (EDO de 2º ordem) e vamos precisar integrá-la duas vezes: primeiro para obter v(t) e depois para obter x(t).

Passo 2

Pela segunda lei de Newton temos que
m,d^2xdt^2=F(t)=1(t+1)^3
Logo a aceleração é
d^2xdt^2=1m,(t+1)^3
e vamos integrar em t para achar a velocidade.

Passo 3

Usando a condição inicial v(0)=–1/2, escrevemos
v(t)=v(0)+integral0^t1m,(s+1)^3,ds
Sabemos que
integral(s+1)^-3ds=-tfrac12,(s+1)^-2
Portanto
v(t)=-tfrac12+1ml[-tfrac12l((t+1)^-2-1r)r]
Simplificando,
v(t)=-tfrac12-12m,(t+1)^-2+12m
ou ainda
v(t)= -tfrac12+12ml(1-1(t+1)^2r) .

Passo 4

Agora integramos v(t) para obter x(t), usando x(0)=0:
x(t)=integral0^tv(s),ds
Substituindo v(s):
x(t)=integral0^tl[-tfrac12+12ml(1-1(s+1)^2r)r]ds
Dividimos em partes:
  1. integral0^t-tfrac12,ds=-tfract2.
  2. integral0^t12m,ds=t2m.
  3. integral0^t-12m(s+1)^-2ds=-12m[-(s+1)^-1]0^t=12m(1t+1-1).
Somando tudo, fica
x(t)=-t2+t2m+12ml(1t+1-1r)
que é a posição procurada.

Resposta

x(t)= -\tfrac{t}{2}+\tfrac{t}{2m}+\tfrac{1}{2m}\Bigl(\tfrac{1}{t+1}-1\Bigr)

Exercícios relacionados