Determine a equação característica associada a equação diferencial y^prime prime-2 y^prime-2 y=0 :
Escolha uma opção:
r^2-r-2=0
Nenhuma das demais alternativas
r^2+3 r+2=0
2 r^2-3 r+1=0
r^2+2 r-3=0
6 r^2-r-1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de equação diferencial aqui: y'' - 2 y' - 2 y = 0. O que precisamos fazer é encontrar a equação característica associada a essa equação diferencial. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação característica. Quando temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, tipo essa que a gente tem aqui, podemos supor que a solução tem a forma y = e^r x. Aí, substituímos essa forma na equação diferencial para encontrar os valores de r que satisfazem a equação. Esses valores de r vêm da equação característica.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa equação: y'' - 2 y' - 2 y = 0. Substituindo y = e^r x, temos:
  • A derivada primeira: y' = r e^r x
  • A derivada segunda: y'' = r^2 e^r x
Agora, substituindo essas na equação:
r^2 e^r x - 2 r e^r x - 2 e^r x = 0

Passo 4

Como e^r x nunca é zero, podemos dividir toda a equação por ele, simplificando para:
r^2 - 2 r - 2 = 0
Essa é a equação característica que precisamos encontrar.

Resposta

A equação característica é r^2 - 2 r - 2 = 0, portanto, a resposta correta é Nenhuma das demais alternativas.

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