1. Calcule as n \in \mathbb{N}^{+}raízes da equação z^{n}+1=0. Mostre as raízes no plano complexo. Dica: z=(-1)^{1 / n}

Passo 1

O enunciado pede que sejam calculadas as raízes complexas da equação z^{n}+1=0 para n\in\mathbb{N}^{+} e que essas raízes sejam mostradas no plano complexo. A dica dada é z = (-1)^{1/n}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é z, um número complexo.
  • A equação é z^{n} + 1 = 0, que é equivalente a z^{n} = -1.
  • Queremos todas as soluções complexas (todas as raízes n-ésimas de -1).
  • A indicação sugere usar a raiz n-ésima de -1, ou seja, escrever -1 em forma exponencial e extrair as raízes.

Passo 2

Vamos lembrar duas ferramentas que são essenciais e explicar de forma simples.
  1. Representação polar/exponencial de um número complexo: qualquer número complexo z pode ser escrito em forma polar como z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr), onde r=|z|\ge 0 é o módulo (distância ao origem) e \theta é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo). Usando a fórmula de Euler, essa forma se escreve também como z = r\,e^{i\theta}.
  2. A ambiguidade do argumento: o argumento \theta não é único: \theta e \theta+2\pi m representam o mesmo ângulo para qualquer m\in\mathbb{Z}. Por isso, ao escrever -1 em forma exponencial podemos usar vários ângulos equivalentes.
Agora escrevemos -1 em forma exponencial. Um representante simples para o argumento de -1 é \pi (pois \cos\pi = -1 e \sin\pi = 0). Incluindo a ambiguidade de 2\pi, temos:
-1 = e^{i(\pi + 2\pi m)}\quad\text{para }m\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Queremos as raízes n-ésimas de -1. Tomando a raiz n-ésima de cada representante exponencial de -1, obtemos:
z = \bigl(e^{i(\pi+2\pi m)}\bigr)^{1/n} = e^{i\frac{\pi+2\pi m}{n}}.
Aqui m é um inteiro qualquer. Cada valor distinto de m dá uma possível solução, mas muitas escolhas de m geram a mesma solução porque aumentar m em n acrescenta 2\pi ao argumento final e e^{i(\theta+2\pi)}=e^{i\theta}.
Portanto, para obter todas as soluções distintas basta tomar m=0,1,2,\dots,n-1. Vou reindexar usando k para ficar mais usual: k=0,1,\dots,n-1.

Passo 4

Assim, as n raízes distintas são
z_k = e^{i\frac{\pi+2\pi k}{n}},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Para escrever de forma trigonométrica (parte real e imaginária explícita), usamos Euler:
z_k = \cos\!\left(\frac{(2k+1)\pi}{n}\right) + i\sin\!\left(\frac{(2k+1)\pi}{n}\right),\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Aqui definimos o argumento de z_k como \theta_k=\dfrac{(2k+1)\pi}{n}.

Passo 5

Verificações importantes (para a prova):
  • Calculando \bigl(z_k\bigr)^n:
\bigl(z_k\bigr)^n = \left(e^{i\frac{\pi+2\pi k}{n}}\right)^n = e^{i(\pi+2\pi k)} = e^{i\pi}e^{i2\pi k} = -1\cdot 1 = -1.
Logo cada z_k satisfaz z^n=-1, portanto é solução de z^{n}+1=0.
  • Distintividade: se k_1 e k_2 diferem por um inteiro múltiplo de n, as correspondentes raízes coincidem; por isso os n valores k=0,\dots,n-1 dão exatamente as n raízes distintas.

Passo 6

Propriedades geométricas no plano complexo (como desenhar):
  • O módulo de cada raiz é
|z_k| = \bigl|e^{i\frac{\pi+2\pi k}{n}}\bigr| = 1,
então todas as raízes estão sobre o círculo unitário (centro na origem, raio 1).
  • Os argumentos \theta_k=\dfrac{(2k+1)\pi}{n} são igualmente espaçados por \dfrac{2\pi}{n} (diferença entre \theta_{k+1} e \theta_k é \tfrac{2\pi}{n}). Portanto, as raízes formam os vértices de um polígono regular de n lados inscrito no círculo unitário, mas rotacionado de modo que o primeiro vértice (para k=0) está no ângulo \dfrac{\pi}{n}.
  • Exemplo rápido para intuição:
    • Se n=4, as raízes são em ângulos \pi/4,\\\ 3\pi/4,\\\ 5\pi/4,\\\ 7\pi/4 (os quatro vértices de um quadrado inscrito, rotacionado 45^\circ).
    • Se n=3, as raízes são em ângulos \pi/3,\\ \pi,\\\ 5\pi/3 (três vértices de um triângulo equilátero inscrito).

Passo 7

Resumo do método (como lembrar e usar na prova):
  • Escrever -1 em forma exponencial: -1=e^{i(\pi+2\pi m)}.
  • Extrair a raiz n-ésima: z=e^{i(\pi+2\pi m)/n}.
  • Escolher m=0,\dots,n-1 para obter todas as raízes distintas.
  • Converter para forma trigonométrica se precisar das partes real e imaginária.
  • Verificar que (z_k)^n=-1 para confirmar.

Resposta

\displaystyle \left\{e^{i\frac{\pi+2\pi k}{n}}\;\middle|\;k=0,1,\dots,n-1\right\}
\displaystyle \left\{\cos\!\left(\frac{(2k+1)\pi}{n}\right)+i\sin\!\left(\frac{(2k+1)\pi}{n}\right)\;\middle|\;k=0,1,\dots,n-1\right\}

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