Calcule as n \in \mathbb{N}^{+}raízes da equação z^{n}+1=0. Mostre as raízes no plano complexo. Dica: z=(-1)^{1 / n}
Passo 1
O enunciado pede que sejam calculadas as raízes complexas da equação z^{n}+1=0 para n\in\mathbb{N}^{+} e que essas raízes sejam mostradas no plano complexo. A dica dada é z = (-1)^{1/n}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A incógnita é z, um número complexo.
A equação é z^{n} + 1 = 0, que é equivalente a z^{n} = -1.
Queremos todas as soluções complexas (todas as raízes n-ésimas de -1).
A indicação sugere usar a raiz n-ésima de -1, ou seja, escrever -1 em forma exponencial e extrair as raízes.
Passo 2
Vamos lembrar duas ferramentas que são essenciais e explicar de forma simples.
Representação polar/exponencial de um número complexo: qualquer número complexo z pode ser escrito em forma polar como z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr), onde r=|z|\ge 0 é o módulo (distância ao origem) e \theta é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo). Usando a fórmula de Euler, essa forma se escreve também como z = r\,e^{i\theta}.
A ambiguidade do argumento: o argumento \theta não é único: \theta e \theta+2\pi m representam o mesmo ângulo para qualquer m\in\mathbb{Z}. Por isso, ao escrever -1 em forma exponencial podemos usar vários ângulos equivalentes.
Agora escrevemos -1 em forma exponencial. Um representante simples para o argumento de -1 é \pi (pois \cos\pi = -1 e \sin\pi = 0). Incluindo a ambiguidade de 2\pi, temos:
Queremos as raízes n-ésimas de -1. Tomando a raiz n-ésima de cada representante exponencial de -1, obtemos:
z = \bigl(e^{i(\pi+2\pi m)}\bigr)^{1/n} = e^{i\frac{\pi+2\pi m}{n}}.
Aqui m é um inteiro qualquer. Cada valor distinto de m dá uma possível solução, mas muitas escolhas de m geram a mesma solução porque aumentar m em n acrescenta 2\pi ao argumento final e e^{i(\theta+2\pi)}=e^{i\theta}.
Portanto, para obter todas as soluções distintas basta tomar m=0,1,2,\dots,n-1. Vou reindexar usando k para ficar mais usual: k=0,1,\dots,n-1.
Logo cada z_k satisfaz z^n=-1, portanto é solução de z^{n}+1=0.
Distintividade: se k_1 e k_2 diferem por um inteiro múltiplo de n, as correspondentes raízes coincidem; por isso os n valores k=0,\dots,n-1 dão exatamente as n raízes distintas.
Passo 6
Propriedades geométricas no plano complexo (como desenhar):
então todas as raízes estão sobre o círculo unitário (centro na origem, raio 1).
Os argumentos \theta_k=\dfrac{(2k+1)\pi}{n} são igualmente espaçados por \dfrac{2\pi}{n} (diferença entre \theta_{k+1} e \theta_k é \tfrac{2\pi}{n}). Portanto, as raízes formam os vértices de um polígono regular de n lados inscrito no círculo unitário, mas rotacionado de modo que o primeiro vértice (para k=0) está no ângulo \dfrac{\pi}{n}.
Exemplo rápido para intuição:
Se n=4, as raízes são em ângulos \pi/4,\\\ 3\pi/4,\\\ 5\pi/4,\\\ 7\pi/4 (os quatro vértices de um quadrado inscrito, rotacionado 45^\circ).
Se n=3, as raízes são em ângulos \pi/3,\\ \pi,\\\ 5\pi/3 (três vértices de um triângulo equilátero inscrito).
Passo 7
Resumo do método (como lembrar e usar na prova):
Escrever -1 em forma exponencial: -1=e^{i(\pi+2\pi m)}.
Extrair a raiz n-ésima: z=e^{i(\pi+2\pi m)/n}.
Escolher m=0,\dots,n-1 para obter todas as raízes distintas.
Converter para forma trigonométrica se precisar das partes real e imaginária.