- A transformada de Fourier mais importante em Física é a da função Gaussiana (
). Calcule (leia o Apêndice da aula)
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a transformada de Fourier
onde
e
(assumiremos
; na prática a fórmula depende de
então o sinal de
não altera o resultado).
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função integranda é
. - A integração é sobre
. - O objetivo é obter
como função de , e .
Passo 2
Vamos manipular o expoente para deixá-lo na forma conveniente para integrar. Primeiro expandimos
:
Substituindo na exponencial e juntando os termos, o expoente é
Agrupando os termos lineares em
:
Para simplificar a notação, defina
Com isso o expoente fica
Passo 3
Agora vamos completar o quadrado no termo envolvendo
. A ideia do completar o quadrado é escrever
Portanto
Isto mostra que a integral é da forma de uma Gaussiana centrada em
multiplicada por um fator exponencial independente de
.
Observação sobre completamento de quadrado (mini-aula): completar o quadrado transforma um polinômio quadrático
em
. Isso é útil porque a integral de uma exponencial de um quadrático centrado é a integral gaussiana padrão, conhecida e calculável.
Passo 4
Usamos agora a fórmula padrão da integral gaussiana. A integral básica é
Breve demonstração (essencial para prova): considere
. Então
. Em coordenadas polares
, tem-se
e
. Assim
logo
.
A partir desta integral padrão obtemos, por mudança de variável, que para
,
No nosso caso
(assumindo
real), logo podemos aplicar esta fórmula diretamente.
Passo 5
Voltemos à integral original. Usando o completamento do quadrado do Passo 3, escrevemos
Pela fórmula do Passo 4 a integral vale
. Então
Agora substituímos
e desenvolvemos
. Calculando:
Dividindo por
:
Subtraindo
obtemos
Portanto
Finalmente substituindo
dá
e obtemos a forma simples
Passo 6
Comentários finais e verificação rápida (didática): a transformada resultante é a produto de três fatores intuitivos:
-
é a amplitude (área característica) da Gaussiana no domínio ; -
aparece porque deslocar a Gaussiana em por provoca um fator de fase na transformada (propriedade do deslocamento); -
mostra que uma Gaussiana em transforma-se em outra Gaussiana em , com largura inversamente relacionada (largura em é da ordem de ).
Isto conclui a resolução.