- Calcule os resíduos em todas as singularidades de:
Passo 1
O enunciado pede: calcular os resíduos em todas as singularidades das três funções
Informações relevantes extraídas dos enunciados (pontos onde podem haver singularidades):
- Para
: singularidades são as raízes de . - Para
: singularidades são zeros de , i.e. . - Para
: singularidades vêm de zeros de (ou seja ) e também das singularidades de , que ocorrem onde , i.e. , .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
- Definição intuitiva de resíduo: o resíduo de uma função meromorfa
em uma singularidade isolada é o coeficiente da parte na expansão em série de Laurent de em torno de . Na prática, para calcular resíduos há fórmulas diretas úteis. - Polo simples: se
é pólo simples de , isto é, com , e analítica em , então
Forma prática:
.
- Pólo de ordem
: há fórmula com derivadas, mas aqui vamos aplicá-la só se necessário. Normalmente é preferível reduzir usando limites ou fatoração. - Resíduo de
nas suas singularidades: como e com e , um cálculo rápido mostra que, em cada (polo simples de ),
ou seja, o resíduo de
em cada um desses polos é
. Vou usar isso na terceira função.
Passo 3
Cálculo para
.
- As singularidades são as raízes de
. Resolver dá
- Cada raiz é simples porque
não se anula nas raízes (exceto se , que não é raiz). - Para pólo simples
aplicado à , usando a fórmula para pólo simples com e :
- Agora explicitamente para as três raízes:
- Para
: , , então
- Para
: , logo
- Para
: (equivalente a ), então
- Para
(essas formas são completamente corretas; podem ser deixadas em forma exponencial ou reescritas em parte real/imaginária se desejado.)
Passo 4
Cálculo para
.
- As singularidades são
. Todas são pólos simples porque o polinômio tem zeros simples nessas posições. - Usamos a fórmula de pólo simples com
e . Então . - Assim para cada
,
- Avaliando:
- Em
: e , logo
- Em
: é (número real), , então
- Em
: , , então
- Em
Passo 5
Cálculo para
.
- Identificamos as singularidades isoladas:
- Zeros do denominador:
(com multiplicidade no denominador), (simples). - Polos de
: , (pólos simples de ). Esses não coincidem com na maioria dos casos (exceto se por acaso algum fosse ou , o que não ocorre), então são singularidades isoladas simples da função inteira.
- Zeros do denominador:
- Vamos calcular caso a caso.
Passo 6
Residuo em
para
.
- Ponto
: o denominador tem fator (ordem 2), mas tem zero simples em com expansão . Assim o comportamento local é
Portanto há um pólo simples em
.
- Calcula-se o resíduo por limite:
Usando
quando
,
Passo 7
Residuo em
para
.
- Para
temos pólos simples (fator linear no denominador e finito). Usando a fórmula de pólo simples com e , onde , obtemos
- Avaliando:
- Em
: , logo
- Em
: . Como ,
- Em
Portanto os resíduos em
são iguais, ambos
.
Passo 8
Residuo em
(pólos de
) para
.
- Cada
é pólo simples de e para esses pontos o denominador é, em geral, não nulo. Como lembrado no Passo 2, . - Logo, para cada
,
- Ou seja, para todo
,
Resposta
Para
:
Para
:
Para
:
e para os polos de
,
(
),