1. Calcule os resíduos em todas as singularidades de: \frac{e^{z}}{z^{3}+1}, \frac{\sin z}{z\left(z^{2}-1\right)}, \frac{\tan z}{z^{2}\left(z^{2}-1\right)}

Passo 1

O enunciado pede: calcular os resíduos em todas as singularidades das três funções
f_1(z)=\frac{e^{z}}{z^{3}+1},\qquad f_2(z)=\frac{\sin z}{z\left(z^{2}-1\right)},\qquad f_3(z)=\frac{\tan z}{z^{2}\left(z^{2}-1\right)}.
Informações relevantes extraídas dos enunciados (pontos onde podem haver singularidades):
  • Para f_1: singularidades são as raízes de z^{3}+1=0.
  • Para f_2: singularidades são zeros de z(z^{2}-1)=z(z-1)(z+1), i.e. z=0,\pm1.
  • Para f_3: singularidades vêm de zeros de z^{2}(z^{2}-1) (ou seja z=0,\pm1) e também das singularidades de \tan z, que ocorrem onde \cos z=0, i.e. z=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
  • Definição intuitiva de resíduo: o resíduo de uma função meromorfa f em uma singularidade isolada z_0 é o coeficiente a_{-1} da parte (z-z_0)^{-1} na expansão em série de Laurent de f em torno de z_0. Na prática, para calcular resíduos há fórmulas diretas úteis.
  • Polo simples: se z_0 é pólo simples de f, isto é, f(z)=\dfrac{\varphi(z)}{\psi(z)} com \psi(z_0)=0, \psi'(z_0)\neq0 e \varphi analítica em z_0, então
\operatorname{Res}_{z=z_0}f(z)=\frac{\varphi(z_0)}{\psi'(z_0)}.
Forma prática: \displaystyle \operatorname{Res}_{z=z_0}f(z)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).
  • Pólo de ordem m: há fórmula com derivadas, mas aqui vamos aplicá-la só se necessário. Normalmente é preferível reduzir usando limites ou fatoração.
  • Resíduo de \tan z nas suas singularidades: como \tan z=\dfrac{\sin z}{\cos z} e \cos z_0=0 com \cos'(z)=-\sin z e \sin z_0=\pm1, um cálculo rápido mostra que, em cada z_0=\tfrac{\pi}{2}+k\pi (polo simples de \tan),
\lim_{z\to z_0}(z-z_0)\tan z = -1,
ou seja, o resíduo de \tan z em cada um desses polos é -1. Vou usar isso na terceira função.

Passo 3

Cálculo para f_1(z)=\dfrac{e^{z}}{z^{3}+1}.
  • As singularidades são as raízes de z^{3}+1=0. Resolver z^{3}=-1=e^{i\pi+2\pi i k}
z_k=e^{i(\pi+2\pi k)/3}=e^{i\pi/3},\\ e^{i\pi}=-1,\\ e^{i5\pi/3}\quad (k=0,1,2).
  • Cada raiz é simples porque \dfrac{d}{dz}(z^{3}+1)=3z^{2} não se anula nas raízes (exceto se z=0, que não é raiz).
  • Para pólo simples z_0 aplicado à f_1, usando a fórmula para pólo simples com \varphi(z)=e^{z} e \psi(z)=z^{3}+1:
\operatorname{Res}_{z=z_0}f_1(z)=\frac{e^{z_0}}{\psi'(z_0)}=\frac{e^{z_0}}{3z_0^{2}}.
  • Agora explicitamente para as três raízes:
    • Para z=-1: z_0=-1, z_0^{2}=1, então
    \operatorname{Res}_{z=-1}f_1(z)=\frac{e^{-1}}{3}.
    • Para z=e^{i\pi/3}: z_0^{2}=e^{i2\pi/3}, logo
    \operatorname{Res}_{z=e^{i\pi/3}}f_1(z)=\frac{e^{\,e^{i\pi/3}}}{3e^{i2\pi/3}}=\frac{1}{3}e^{\,e^{i\pi/3}}e^{-i2\pi/3}.
    • Para z=e^{i5\pi/3}: z_0^{2}=e^{i10\pi/3}=e^{i4\pi/3} (equivalente a e^{-i2\pi/3}), então
    \operatorname{Res}_{z=e^{i5\pi/3}}f_1(z)=\frac{e^{\,e^{i5\pi/3}}}{3e^{i4\pi/3}}=\frac{1}{3}e^{\,e^{i5\pi/3}}e^{-i4\pi/3}.
(essas formas são completamente corretas; podem ser deixadas em forma exponencial ou reescritas em parte real/imaginária se desejado.)

Passo 4

Cálculo para f_2(z)=\dfrac{\sin z}{z(z^{2}-1)}.
  • As singularidades são z=0,\,\pm1. Todas são pólos simples porque o polinômio z(z^{2}-1) tem zeros simples nessas posições.
  • Usamos a fórmula de pólo simples com \varphi(z)=\sin z e \psi(z)=z(z^{2}-1)=z^{3}-z. Então \psi'(z)=3z^{2}-1.
  • Assim para cada z_0\in\{0,\pm1\},
\operatorname{Res}_{z=z_0}f_2(z)=\frac{\sin z_0}{3z_0^{2}-1}.
  • Avaliando:
    • Em z_0=0: \sin 0=0 e 3\cdot0^{2}-1=-1, logo
    \operatorname{Res}_{z=0}f_2(z)=0.
    • Em z_0=1: \sin 1 é \sin 1 (número real), 3\cdot1^{2}-1=2, então
    \operatorname{Res}_{z=1}f_2(z)=\frac{\sin 1}{2}.
    • Em z_0=-1: \sin(-1)=-\sin 1, 3\cdot(-1)^{2}-1=2, então
    \operatorname{Res}_{z=-1}f_2(z)=-\frac{\sin 1}{2}.

Passo 5

Cálculo para f_3(z)=\dfrac{\tan z}{z^{2}(z^{2}-1)}.
  • Identificamos as singularidades isoladas:
    • Zeros do denominador: z=0 (com multiplicidade 2 no denominador), z=\pm1 (simples).
    • Polos de \tan z: z=z_k=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} (pólos simples de \tan). Esses z_k não coincidem com 0,\pm1 na maioria dos casos (exceto se por acaso algum z_k fosse 0 ou \pm1, o que não ocorre), então são singularidades isoladas simples da função inteira.
  • Vamos calcular caso a caso.

Passo 6

Residuo em z=0 para f_3.
  • Ponto z=0: o denominador tem fator z^{2} (ordem 2), mas \tan z tem zero simples em 0 com expansão \tan z = z + \tfrac{1}{3}z^{3}+\cdots. Assim o comportamento local é
\frac{\tan z}{z^{2}(z^{2}-1)}=\frac{z+O(z^{3})}{z^{2}(-1+O(z^{2}))}=\frac{1}{z}\cdot\frac{1+O(z^{2})}{-1+O(z^{2})}.
Portanto há um pólo simples em 0.
  • Calcula-se o resíduo por limite:
\operatorname{Res}_{z=0}f_3(z)=\lim_{z\to0} z\frac{\tan z}{z^{2}(z^{2}-1)} =\lim_{z\to0}\frac{\tan z}{z(z^{2}-1)}.
Usando \tan z\sim z quando z\to0,
\operatorname{Res}_{z=0}f_3(z)=\lim_{z\to0}\frac{z+O(z^{3})}{z(-1+O(z^{2}))}=\frac{1}{-1}=-1.

Passo 7

Residuo em z=\pm1 para f_3.
  • Para z_0=\pm1 temos pólos simples (fator linear no denominador e \tan z_0 finito). Usando a fórmula de pólo simples com \psi(z)=z^{2}(z^{2}-1) e \varphi(z)=\tan z, onde \psi'(z)=4z^{3}-2z=2z(2z^{2}-1), obtemos
\operatorname{Res}_{z=z_0}f_3(z)=\frac{\tan z_0}{\psi'(z_0)}=\frac{\tan z_0}{4z_0^{3}-2z_0}.
  • Avaliando:
    • Em z_0=1: 4\cdot1^{3}-2\cdot1=2, logo
    \operatorname{Res}_{z=1}f_3(z)=\frac{\tan 1}{2}.
    • Em z_0=-1: 4(-1)^{3}-2(-1)=-4+2=-2. Como \tan(-1)=-\tan 1,
    \operatorname{Res}_{z=-1}f_3(z)=\frac{\tan(-1)}{-2}=\frac{-\tan 1}{-2}=\frac{\tan 1}{2}.
Portanto os resíduos em z=\pm1 são iguais, ambos \dfrac{\tan 1}{2}.

Passo 8

Residuo em z=z_k=\tfrac{\pi}{2}+k\pi (pólos de \tan z) para f_3.
  • Cada z_k é pólo simples de \tan z e para esses pontos o denominador z_k^{2}(z_k^{2}-1) é, em geral, não nulo. Como lembrado no Passo 2, \displaystyle \lim_{z\to z_k}(z-z_k)\tan z=-1.
  • Logo, para cada z_k,
\operatorname{Res}_{z=z_k}f_3(z)=\lim_{z\to z_k}(z-z_k)\frac{\tan z}{z^{2}(z^{2}-1)} =\frac{-1}{z_k^{2}\bigl(z_k^{2}-1\bigr)}.
  • Ou seja, para todo k\in\mathbb{Z},
\operatorname{Res}_{z=\tfrac{\pi}{2}+k\pi}f_3(z)=-\frac{1}{\bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr)^{2}\!\left[\bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr)^{2}-1\right]}.

Resposta

Para \displaystyle f_1(z)=\frac{e^{z}}{z^{3}+1}:
\operatorname{Res}_{z=e^{i\pi/3}}f_1(z)=\frac{e^{\,e^{i\pi/3}}}{3e^{i2\pi/3}},\qquad \operatorname{Res}_{z=-1}f_1(z)=\frac{e^{-1}}{3},\qquad \operatorname{Res}_{z=e^{i5\pi/3}}f_1(z)=\frac{e^{\,e^{i5\pi/3}}}{3e^{i4\pi/3}}.
Para \displaystyle f_2(z)=\frac{\sin z}{z\left(z^{2}-1\right)}:
\operatorname{Res}_{z=0}f_2(z)=0,\qquad \operatorname{Res}_{z=1}f_2(z)=\frac{\sin 1}{2},\qquad \operatorname{Res}_{z=-1}f_2(z)=-\frac{\sin 1}{2}.
Para \displaystyle f_3(z)=\frac{\tan z}{z^{2}\left(z^{2}-1\right)}:
\operatorname{Res}_{z=0}f_3(z)=-1,\qquad \operatorname{Res}_{z=1}f_3(z)=\frac{\tan 1}{2},\qquad \operatorname{Res}_{z=-1}f_3(z)=\frac{\tan 1}{2},
e para os polos de \tan, z_k=\tfrac{\pi}{2}+k\pi ( k\in\mathbb{Z}),
\operatorname{Res}_{z=z_k}f_3(z)=-\frac{1}{z_k^{2}\bigl(z_k^{2}-1\bigr)}.

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