Calcule, para n=1,2,3, \ldots :
i^{n};

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já sabemos (dados que vou usar).
  • Pede: calcular i^{n} para n=1,2,3,\ldots.
  • Dado fundamental: i é a unidade imaginária, ou seja, satisfaz \,i^{2}=-1.
    Não vou resolver nada ainda — apenas organizei o pedido e o dado que usaremos.

Passo 2

Calcular as primeiras potências de i explicitamente para observar um padrão.
  • Começo de forma bem direta:
i^{1}=i.
i^{2}=-1 \quad\text{(pela definição de \(i\)).}çã
i^{3}=i^{2}\cdot i = (-1)\cdot i = -i.
i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=(-1)\cdot(-1)=1.
Mostrei cada multiplicação passo a passo para ficar claro como cada potência surge.

Passo 3

Observar o padrão e a periodicidade.
  • Das potências calculadas temos a sequência:
i,\\\ -1,\\\ -i,\\\ 1,\\ i,\\\ -1,\\\ -i,\\\ 1,\ldots
  • Essa sequência repete a cada 4 passos, ou seja, as potências de i são periódicas de período 4. Em particular já vimos que
i^{4}=1.

Passo 4

Usar a propriedade de potências para generalizar: fatorar n em múltiplo de 4 mais resto.
  • Pelo algoritmo da divisão, para qualquer inteiro n\ge1 existem inteiros q\ge0 e r\in\{0,1,2,3\} tais que
n=4q+r.
  • Então, usando regras de potência:
i^{n}=i^{4q+r}=(i^{4})^{q}\,i^{r}.
  • Como vimos em \,i^{4}=1, temos (i^{4})^{q}=1^{q}=1. Portanto
i^{n}=i^{r}.
Isto mostra que para determinar i^{n} basta conhecer o resto r da divisão de n por 4.

Passo 5

Dar o resultado final explicitando cada caso do resto r.
  • Para os possíveis valores de r\in\{0,1,2,3\} temos, pelas potências básicas calculadas:
i^{0}=1,\quad i^{1}=i,\quad i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i.
  • Portanto, para qualquer n\ge1,
i^{n}= \begin{cases} 1, & \text{se } n\equiv 0 \pmod{4},\\[4pt] i, & \text{se } n\equiv 1 \pmod{4},\\[4pt] -1, & \text{se } n\equiv 2 \pmod{4},\\[4pt] -\,i, & \text{se } n\equiv 3 \pmod{4}. \end{cases}]

Passo 6

Exemplos práticos — como usar isso rápido na prova.
  • Exemplo 1: i^{5}. Dividindo 5 por 4 obtemos resto 1, logo i^{5}=i.
  • Exemplo 2: i^{10}. Dividindo 10 por 4 obtemos resto 2, logo i^{10}=-1.
  • Exemplo 3: i^{123}. Dividindo 123 por 4 dá resto 3 (porque 4\cdot30=120), então i^{123}=-i.
    Dica rápida: para prova, calcule só o resto de n por 4 e use a tabela acima — muito prático e seguro.

Resposta

i^{n}= \begin{cases} 1, & \text{se } n\equiv 0 \pmod{4},\\[4pt] i, & \text{se } n\equiv 1 \pmod{4},\\[4pt] -1, & \text{se } n\equiv 2 \pmod{4},\\[4pt] -\,i, & \text{se } n\equiv 3 \pmod{4}. \end{cases}]

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