Calcule, para
:
;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já sabemos (dados que vou usar).
- Pede: calcular
para . - Dado fundamental:
é a unidade imaginária, ou seja, satisfaz .
Não vou resolver nada ainda — apenas organizei o pedido e o dado que usaremos.
Passo 2
Calcular as primeiras potências de
explicitamente para observar um padrão.
- Começo de forma bem direta:
Mostrei cada multiplicação passo a passo para ficar claro como cada potência surge.
Passo 3
Observar o padrão e a periodicidade.
- Das potências calculadas temos a sequência:
- Essa sequência repete a cada
passos, ou seja, as potências de são periódicas de período . Em particular já vimos que
Passo 4
Usar a propriedade de potências para generalizar: fatorar
em múltiplo de
mais resto.
- Pelo algoritmo da divisão, para qualquer inteiro
existem inteiros e tais que
- Então, usando regras de potência:
- Como vimos em
, temos . Portanto
Isto mostra que para determinar
basta conhecer o resto
da divisão de
por
.
Passo 5
Dar o resultado final explicitando cada caso do resto
.
- Para os possíveis valores de
temos, pelas potências básicas calculadas:
- Portanto, para qualquer
,
Passo 6
Exemplos práticos — como usar isso rápido na prova.
- Exemplo 1:
. Dividindo por obtemos resto , logo . - Exemplo 2:
. Dividindo por obtemos resto , logo . - Exemplo 3:
. Dividindo por dá resto (porque ), então .
Dica rápida: para prova, calcule só o resto de por e use a tabela acima — muito prático e seguro.