Expresse em termos de r e \theta as seguintes equações, onde z=r e^{i \theta} : Simplifique ao máximo sua resposta.
\arg \left(z^{2}\right)=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado dá z = r e^{i\theta} e pede para escrever, em termos de r e \theta, a condição
\arg\left(z^{2}\right)=\frac{\pi}{2}.
Informações relevantes que temos imediatamente:
  • r é o módulo de z, logo r\ge 0.
  • \theta é o argumento de z, é um número real (podemos trabalhar com \theta\in\mathbb{R}).
  • A notação \arg(\cdot) dá o ângulo (módulo 2\pi) do número complexo; para 0 a função argumento não é definida, então devemos cuidar do caso r=0.

Passo 2

Calcular z^{2} usando a forma exponencial. Se z=r e^{i\theta}, então
z^{2}=(r e^{i\theta})^{2}=r^{2} e^{i(2\theta)}.
Aqui explique: r^{2} é um número real não negativo e e^{i(2\theta)} tem argumento 2\theta.

Passo 3

Entender \arg(z^{2}). Como r^{2}>0 quando r>0, o fator real positivo não altera o argumento; portanto, para r>0,
\arg\big(z^{2}\big)=\arg\big(r^{2} e^{i(2\theta)}\big)=2\theta \pmod{2\pi}.
Isto significa que 2\theta e \arg(z^{2}) diferem por um múltiplo inteiro de 2\pi.

Passo 4

Resolver a equação de argumentos. Igualando (considerando a periodicidade de 2\pi):
2\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Dividindo por 2:
\theta = \frac{\pi}{4} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Tratar o caso r=0. Se r=0 então z=0 e \arg(z^{2})=\arg(0) não está definido, logo r=0 não satisfaz a condição. Portanto é necessário r>0.

Passo 6

Interpretar e dar exemplos rápidos para fixar: com k=0 temos \theta=\pi/4 e então z^{2}=r^{2}e^{i\pi/2}=i r^{2} cujo argumento é \pi/2. Com k=1 temos \theta=5\pi/4 e então z^{2}=r^{2}e^{i5\pi/2}=r^{2}e^{i\pi/2} (pois 5\pi/2\equiv\pi/2\pmod{2\pi}), também dá argumento \pi/2.

Resposta

r>0,\\ \theta=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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