Expresse em termos de
e
as seguintes equações, onde
: Simplifique ao máximo sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado dá
e pede para escrever, em termos de
e
, a condição
Informações relevantes que temos imediatamente:
-
é o módulo de , logo . -
é o argumento de , é um número real (podemos trabalhar com ). - A notação
dá o ângulo (módulo ) do número complexo; para a função argumento não é definida, então devemos cuidar do caso .
Passo 2
Calcular
usando a forma exponencial. Se
, então
Aqui explique:
é um número real não negativo e
tem argumento
.
Passo 3
Entender
. Como
quando
, o fator real positivo não altera o argumento; portanto, para
,
Isto significa que
e
diferem por um múltiplo inteiro de
.
Passo 4
Resolver a equação de argumentos. Igualando (considerando a periodicidade de
):
Dividindo por
:
Passo 5
Tratar o caso
. Se
então
e
não está definido, logo
não satisfaz a condição. Portanto é necessário
.
Passo 6
Interpretar e dar exemplos rápidos para fixar: com
temos
e então
cujo argumento é
. Com
temos
e então
(pois
), também dá argumento
.