(Lista 4 e Lista 8) Resolva os itens abaixo.
Para a função
f(x, y)=y-\ln x,
determine a equação da curva de nível correspondente a f(x, y)=2.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=y-\ln x e pede a equação da curva de nível correspondente a f(x,y)=2.
Informações úteis que o enunciado fornece:
  • A função é f(x,y)=y-\ln x.
  • A curva de nível que queremos satisfaz f(x,y)=2, ou seja, todos os pontos (x,y) tais que y-\ln x=2.
  • Observação importante: a função \ln x está definida apenas para x>0. Portanto quaisquer equações que envolvam \ln x têm domínio restrito a x>0.

Passo 2

O que é uma curva de nível (explicação didática)?
  • Uma curva de nível para uma função de duas variáveis f(x,y) e um valor fixo k é o conjunto de pontos (x,y) no plano que satisfazem
f(x,y)=k.
  • Em outras palavras, é a “linha” onde a função tem valor constante igual a k. Para resolver uma curva de nível, normalmente isolamos y (ou x) na equação f(x,y)=k sempre que possível, e anotamos o domínio.

Passo 3

Aplicando isso ao caso dado: escrever a equação da curva de nível substituindo f(x,y)=2:
y-\ln x = 2.
Agora isolamos y para obter uma forma explícita (isso facilita entender e desenhar a curva):
y = 2 + \ln x.

Passo 4

Análise didática da solução (como reconhecer e usar esta curva na prova):
  • A equação \displaystyle y=2+\ln x representa o gráfico da função x\mapsto 2+\ln x. É a função \ln x deslocada verticalmente para cima em 2 unidades.
  • Lembre-se do domínio: como mencionado no Passo 1, \ln x exige x>0. Portanto a curva de nível é definida apenas para x>0.
  • Comportamento útil para esboçar sem calculadora:
    • Quando x\to0^+, \ln x\to -\infty, então y\to -\infty. A curva desce indefinidamente à medida que se aproxima do eixo y pela direita.
    • Quando x\to +\infty, \ln x\to +\infty, então y\to +\infty, crescendo lentamente.
    • Alguns pontos fáceis de marcar: para x=1 tem-se y=2+\ln 1=2+0=2. Para x=e tem-se y=2+\ln e=2+1=3. Para x=\tfrac{1}{e} tem-se y=2+\ln(\tfrac{1}{e})=2-1=1.
  • Derivada (para saber inclinação): diferenciando em relação a x,
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(2+\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.
Isto mostra que a reta tangente é mais inclinada para x pequenos e a inclinação tende a 0 quando x cresce.

Passo 5

Resumo prático para a prova: ao ver f(x,y)= constante com f(x,y)=y-\ln x, isole y diretamente, não esqueça de anotar o domínio x>0 e marque pontos como x=1 e x=e para um esboço rápido.

Resposta

y=2+\ln x,\; x>0

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