(Lista 4 e Lista 8) Resolva os itens abaixo.
Para a função
determine a equação da curva de nível correspondente a
.
Para a função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da curva de nível correspondente a
.
Informações úteis que o enunciado fornece:
- A função é
. - A curva de nível que queremos satisfaz
, ou seja, todos os pontos tais que . - Observação importante: a função
está definida apenas para . Portanto quaisquer equações que envolvam têm domínio restrito a .
Passo 2
O que é uma curva de nível (explicação didática)?
- Uma curva de nível para uma função de duas variáveis
e um valor fixo é o conjunto de pontos no plano que satisfazem
- Em outras palavras, é a “linha” onde a função tem valor constante igual a
. Para resolver uma curva de nível, normalmente isolamos (ou ) na equação sempre que possível, e anotamos o domínio.
Passo 3
Aplicando isso ao caso dado: escrever a equação da curva de nível substituindo
:
Agora isolamos
para obter uma forma explícita (isso facilita entender e desenhar a curva):
Passo 4
Análise didática da solução (como reconhecer e usar esta curva na prova):
- A equação
representa o gráfico da função . É a função deslocada verticalmente para cima em unidades. - Lembre-se do domínio: como mencionado no Passo 1,
exige . Portanto a curva de nível é definida apenas para . - Comportamento útil para esboçar sem calculadora:
- Quando
, , então . A curva desce indefinidamente à medida que se aproxima do eixo pela direita. - Quando
, , então , crescendo lentamente. - Alguns pontos fáceis de marcar: para
tem-se . Para tem-se . Para tem-se .
- Quando
- Derivada (para saber inclinação): diferenciando em relação a
,
Isto mostra que a reta tangente é mais inclinada para
pequenos e a inclinação tende a
quando
cresce.
Passo 5
Resumo prático para a prova: ao ver
constante com
, isole
diretamente, não esqueça de anotar o domínio
e marque pontos como
e
para um esboço rápido.