Calcule
no ponto especificado se:
;
Passo 1
Beleza, o problema pede para calcular a divergência de um campo vetorial
\displaystyle \vec D(,x,y,z,)=\frac1{z^{2}}\bigl[10,x,y,z,\hat a_x ;+;5,x^{2},z,\hat a_y;+;(2,z{3}-5,x{2}y),\hat a_z\bigr]
no ponto P(–2, 3, 5).
Conteúdo: operador divergência em coordenadas cartesianas. Precisamos lembrar que
\displaystyle \nabla!\cdot!\vec D = \frac{\partial D_x}{\partial x} + \frac{\partial D_y}{\partial y} + \frac{\partial D_z}{\partial z}.
\displaystyle \vec D(,x,y,z,)=\frac1{z^{2}}\bigl[10,x,y,z,\hat a_x ;+;5,x^{2},z,\hat a_y;+;(2,z{3}-5,x{2}y),\hat a_z\bigr]
no ponto P(–2, 3, 5).
Conteúdo: operador divergência em coordenadas cartesianas. Precisamos lembrar que
\displaystyle \nabla!\cdot!\vec D = \frac{\partial D_x}{\partial x} + \frac{\partial D_y}{\partial y} + \frac{\partial D_z}{\partial z}.
Passo 2
Primeiro a gente simplifica cada componente de D:
D_x = \frac{1}{z^2},(10xyz) = \frac{10,x,y}{z},
D_y = \frac{1}{z2},(5x2z) = \frac{5,x^2}{z},
D_z = \frac{1}{z2},(2z3 -5x^2y) = 2,z - \frac{5,x2,y}{z2}.
D_x = \frac{1}{z^2},(10xyz) = \frac{10,x,y}{z},
D_y = \frac{1}{z2},(5x2z) = \frac{5,x^2}{z},
D_z = \frac{1}{z2},(2z3 -5x^2y) = 2,z - \frac{5,x2,y}{z2}.
Então, pela definição,
\nabla!\cdot!\vec D = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{10xy}{z}\Bigr)
+\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{5x^2}{z}\Bigr)
+\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(2z - \frac{5x2y}{z2}\Bigr).
\nabla!\cdot!\vec D = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{10xy}{z}\Bigr)
+\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{5x^2}{z}\Bigr)
+\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(2z - \frac{5x2y}{z2}\Bigr).
Passo 3
Agora calculamos cada derivada:
- ∂/∂x(10xy/z) = (10y/z) porque y e z são tratados como constantes.
- ∂/∂y(5x^2/z) = 0, pois não tem y nessa expressão.
- ∂/∂z(2z -5x^2y·z⁻²) = 2 + (–5x^2y)·(–2)z⁻³ = 2 + \frac{10,x2,y}{z3}.
Somando tudo:
\displaystyle \nabla!\cdot!\vec D = \frac{10,y}{z} + 0 + 2 + \frac{10,x2,y}{z3}.
\displaystyle \nabla!\cdot!\vec D = \frac{10,y}{z} + 0 + 2 + \frac{10,x2,y}{z3}.
Passo 4
Só falta botar x=–2, y=3, z=5:
10y/z = 10·3/5 = 6,
10x2y/z3 = 10·(–2)²·3 / 5³ = 10·4·3 /125 = 120/125 = 24/25.
10y/z = 10·3/5 = 6,
10x2y/z3 = 10·(–2)²·3 / 5³ = 10·4·3 /125 = 120/125 = 24/25.
Então
\displaystyle \nabla!\cdot!\vec D\big|_{P} = 6 + 2 + \frac{24}{25} = 8 + \frac{24}{25} = \frac{224}{25}.
\displaystyle \nabla!\cdot!\vec D\big|_{P} = 6 + 2 + \frac{24}{25} = 8 + \frac{24}{25} = \frac{224}{25}.
Resposta
\boxed{\nabla!\cdot!\vec D\bigl(-2,3,5\bigr)=\frac{224}{25}}.