Calcule nabla cdot D no ponto especificado se:
D=5 z^2 arho+10 rho z az em P(3,-45^circ, 5);

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra a gente calcular a divergência do campo
D=5,z^2,hat arho+10,rho,z,hat az
no ponto . Isso cai em “Cálculo Vetorial” e, mais especificamente, em “divergência em coordenadas cilíndricas”. Pra resolver vamos precisar da fórmula da divergência em cilíndricas e depois só avaliar no ponto dado.

Passo 2

A teoria: em coordenadas cilíndricas nabla!cdot!vec A = 1rho,partialpartial rhol(rho,Arhor) + 1rho,partial Aphipartial phi + partial Azpartial z , para um campo , a divergência é

Passo 3

Agora identificando 1rho,partialpartial rhol(rho,Arhor) = 1rho,partialpartial rhol(rhocdot5,z^2r) = 1rho,l(5,z^2r) = 5,z^2rho :
Então o primeiro termo é

Passo 4

O segundo termo, envolvendo 1rho,partial Aphipartial phi = 1rho,partial 0partial phi = 0 , é

Passo 5

O terceiro termo é
partial Azpartial z = partialpartial zl(10,rho,zr) = 10,rho

Passo 6

Somando tudo, a divergência genérica fica
nabla!cdot!vec D = 5,z^2rho + 0 + 10,rho = 5,z^2rho + 10,rho

Passo 7

Só falta colocar nabla!cdot!vec D|P = 5cdot5^23 + 10cdot3 = 1253 + 30 = 125 + 903 = 2153 e :

Resposta

nabla!cdot!vec Dl(P(3,-45^circ,5)r) = 2153

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