Três cascas esféricas concéntricas com
e
têm, respectivamente, distribuições de cargas dadas por
e
.
Determine
em
e
.
Determine
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos três cascas esféricas concêntricas de raios
,
e
m. Em cada superfície a densidade de carga livre é
- na casca de raio 1 m:
, - na casca de raio 2 m:
, - na casca de raio 3 m:
.
Precisamos achar o vetor deslocamento elétrico
em três pontos:
m (dentro de tudo),
m (entre as cascas de raio 2 e 3) e
m (fora de tudo).
Para isso a gente vai usar a Lei de Gauss para
:
que, em simetria esférica, vira
Ou seja, pra cada região a gente acha a carga livre total que “está dentro” de uma esfera de raio
, e divide por
.
Passo 2
Região
m (dentro da casca mais interna):
- Como
, não tem nenhuma casca “dentro” desse raio, então
- Logo
E o vetor é
.
Passo 3
Região
m (entre raio 2 m e 3 m):
Aqui entram as cascas de raio 1 m e 2 m. Vamos calcular cada carga:
Aqui entram as cascas de raio 1 m e 2 m. Vamos calcular cada carga:
- Na casca
m:
2) Na casca
Então
Aplicando Gauss:
Como é radial,
C/m
.
Passo 4
Região
m (fora de todas as cascas):
Agora entram ,
e
. Já temos
C e
C; para a casca de raio 3 m:
Agora entram
Somando:
Gauss:
Então
C/m
.