Três cascas esféricas concéntricas com r=1, r=2 e r=3 m têm, respectivamente, distribuições de cargas dadas por 2,-4 e 5 mu C / m^2.
Determine D em r=0.5, r=2.5 e r=3.5 m.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos três cascas esféricas concêntricas de raios r=1, r=2 e r=3,m. Em cada superfície a densidade de carga livre é
  • na casca de raio 1 m: sigma1 = 2,muC/m^2,
  • na casca de raio 2 m: sigma2 = -4,muC/m^2,
  • na casca de raio 3 m: sigma3 = 5,muC/m^2.
Precisamos achar o vetor deslocamento elétrico vec D em três pontos: r=0,5,m (dentro de tudo), r=2,5,m (entre as cascas de raio 2 e 3) e r=3,5,m (fora de tudo).
Para isso a gente vai usar a Lei de Gauss para vec D:
ointS vec Dcdot dvec A = Qrm livre;enc,
que, em simetria esférica, vira
D(r),4pi r^2 = Qrm livre;enc(r),
Ou seja, pra cada região a gente acha a carga livre total que “está dentro” de uma esfera de raio r, e divide por 4pi r^2.

Passo 2

Região r=0,5,m (dentro da casca mais interna):
  • Como 0,5<1, não tem nenhuma casca “dentro” desse raio, então
Qrm enc=0,
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D(0,5)=Qrm enc4pi(0,5)^2=0,
E o vetor é vec D=0,hat r.

Passo 3

Região r=2,5,m (entre raio 2 m e 3 m):
Aqui entram as cascas de raio 1 m e 2 m. Vamos calcular cada carga:
  1. Na casca r=1 m:
Q1=sigma1cdot 4pi(1)^2 = 2,murm C/m^2cdot4pi = 8pi,murm C,
2) Na casca r=2 m:
Q2=sigma2cdot 4pi(2)^2 = (-4),murm C/m^2cdot4picdot4 = -64pi,murm C,
Então
Qrm enc=Q1+Q2=8pi-64pi = -56pi;murm C,
Aplicando Gauss:
D(2.5),4pi(2.5)^2 = -56pitimes10^-6,rm C
D(2.5) = -56pitimes10^-64pi,(2.5)^2 = -56pi4pi10^-66.25 = -146.25,10^-6 approx -2.24times10^-6;rm C/m^2,
Como é radial, vec D(2.5) = -2.24times10^-6,hat r,C/m ^2.

Passo 4

Região r=3,5,m (fora de todas as cascas):
Agora entram Q1, Q2 e Q3. Já temos Q1=8pi,muC e Q2=-64pi,muC; para a casca de raio 3 m:
Q3=sigma3cdot4pi(3)^2 = 5,murm C/m^2cdot4picdot9 = 180pi,murm C,
Somando:
Qrm enc=8pi-64pi+180pi = 124pi;murm C,
Gauss:
D(3.5),4pi(3.5)^2 = 124pitimes10^-6
D(3.5) = 124pi,10^-64pi,(3.5)^2 = 124410^-612.25 = 3110^-612.25 approx 2.53times10^-6;rm C/m^2,
Então vec D(3.5)=+2.53times10^-6,hat r,C/m ^2.

Resposta

vec D(0.5, m)=0,[6pt] vec D(2.5, m)=-2.24times10^-6,hat r;C/m^2,[6pt] vec D(3.5, m)=+2.53times10^-6,hat r;C/m^2

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