Calcule nabla cdot(F times G).

Passo 1

Enunciado: calcular a divergência do produto vetorial de dois campos vetoriais F e G. O conteúdo envolve operadores de cálculo vetorial, como divergência e rotacional, e vamos usar identidades de derivadas de campos vetoriais para chegar à resposta.

Passo 2

Lembrando as definições básicas: a divergência de um campo H=(Hx,Hy,Hz) é dada por
nablacdot H=partial Hxpartial x+partial Hypartial y+partial Hzpartial z,
e o rotacional de F é
nablatimes F=l(tfracpartial Fzpartial y-tfracpartial Fypartial z,;tfracpartial Fxpartial z-tfracpartial Fzpartial x,;tfracpartial Fypartial x-tfracpartial Fxpartial yr)
Essas definições vão nos ajudar a expressar e manipular nablacdot( Ftimes G).

Passo 3

Escrevemos a divergência do produto vetorial em coordenadas e expandimos cada termo:
nablacdot( Ftimes G)=partialpartial x(Fy Gz - Fz Gy) +partialpartial y(Fz Gx - Fx Gz) +partialpartial z(Fx Gy - Fy Gx)
Aplicamos a derivada em cada parcela para obter somas de produtos de derivadas parciais de F e G.

Passo 4

Ao expandir e agrupar os termos, percebemos que eles se organizam exatamente como os produtos escalares Gcdot(nablatimes F) e Fcdot(nablatimes G). Essa reagrupamento mostra que a divergência do produto vetorial é a diferença entre essas duas projeções.

Resposta

nablacdot( Ftimes G)= Gcdot(nablatimes F)- Fcdot(nablatimes G).

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