Determine o valor máximo da derivada direcional de
no ponto dado
e a direcão em que ocorre:
.
Passo 1
A questão pede o valor máximo da derivada direcional de f no ponto P e a direção em que isso ocorre. O conteúdo envolve derivada direcional e gradiente, pois sabemos que a derivada direcional máxima é o módulo do gradiente e ocorre na direção do próprio gradiente.
Passo 2
Para encontrar a derivada direcional máxima, precisamos calcular o gradiente de f. Lembre que, para f(x,y,z)=2xyz+y2+z2, o gradiente é dado por ∇f=(f_x,f_y,f_z), onde f_x=∂f/∂x, f_y=∂f/∂y e f_z=∂f/∂z.
Passo 3
Vamos computar as derivadas parciais. Temos
f_x=2yz,
f_y=2xz+2y,
f_z=2xy+2z.
f_x=2yz,
f_y=2xz+2y,
f_z=2xy+2z.
Passo 4
Agora avaliamos o gradiente em P=(2,1,1). Substituindo em cada componente:
∇f§=(2·1·1,
2·2·1+2·1,
2·2·1+2·1)=(2,6,6).
∇f§=(2·1·1,
2·2·1+2·1,
2·2·1+2·1)=(2,6,6).
Passo 5
O valor máximo da derivada direcional é o módulo de ∇f§. Calculamos:
Passo 6
Para concluir, a direção em que ocorre é a do próprio gradiente, isto é, o vetor unitário
Resposta
O valor máximo da derivada direcional é
e ocorre na direção do vetor unitário
.