Determine a derivada direcional da função dada na direção v : z=x^2+x y+y^2+3 x-3 y+3, v=1raiz5(1,2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função f(x,y)=x^2+xy+y^2+3x-3y+3 na direção do vetor unitário v=tfrac1raiz5(1,2). Isso é um problema de derivada direcional, onde vamos usar o gradiente de f e fazer o produto escalar com v.

Passo 2

Para começar, calculamos as derivadas parciais de f. Usando regras básicas de diferenciação de polinômios, temos:
fx=partialpartial x(x^2+xy+y^2+3x-3y+3)=2x+y+3,
fy=partialpartial y(x^2+xy+y^2+3x-3y+3)=x+2y-3

Passo 3

O gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
nabla f(x,y)=(fx,fy)=(2x+y+3,,x+2y-3)

Passo 4

O vetor v=tfrac1raiz5(1,2) já é unitário (norma 1). A derivada direcional é dada por
Dvf(x,y)=nabla f(x,y)cdotv

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar e simplificamos:
Dvf(x,y)=l(2x+y+3,,x+2y-3r)cdottfrac1raiz5(1,2)
=1raiz5l((2x+y+3)cdot1+(x+2y-3)cdot2r)=1raiz5(2x+y+3+2x+4y-6)

Passo 6

Somando termos semelhantes, chegamos em
Dvf(x,y)=4x+5y-3raiz5

Resposta

4x+5y-3raiz5

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