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Seja F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j,(x, y) neq(0,0). Verifique que este campo não é conservativo, mesmo sendo o seu rot(F)=0. Mostre que a integral sobre a curva fechada gamma(t)=(cos t, sin t), t in[0,2 pi] deste campo é diferente de zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo
vec F(x,y)=-yx^2+y^2,vec i+xx^2+y^2,vec j(x,y)neq(0,0)
não é conservativo mesmo tendo rot,vec F=0, e depois calcular a integral de linha fechada ao longo de
gamma(t)=(cos t,sin t),;tin[0,2pi], mostrando que ela não se anula. Para isso vamos precisar de definição de rotacional, parametrização de curva e cálculo direto da integral de linha.

Passo 2

Vamos calcular o rotacional em 2D, que é
rotvec F=partialpartial xl(xx^2+y^2r)-partialpartial yl(-yx^2+y^2r)
Primeiro
partialpartial xl(xr^2r)=(r^2)cdot1 - xcdot2xr^4=x^2+y^2-2x^2(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
e
$$\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{-y}{r2}\Bigr)=\frac{-\bigl((r2)\cdot1 - y\cdot2y\bigr)}{r4}=\frac{-(x2+y2-2y2)}{(x2+y2)2}=\frac{y2-x2}{(x2+y2)2}.
$$
Subtraindo, obtemos partialpartial yl(-yr^2r)=-l((r^2)cdot1 - ycdot2yr)r^4=-(x^2+y^2-2y^2)(x^2+y^2)^2=y^2-x^2(x^2+y^2)^2 .

Passo 3

Agora parametrizamos gamma(t)=(cos t,sin t). Temos

e
dr=l(-sin t,cos tr),dt,
logo o produto interno é

Assim a integral ao longo de vec F(gamma(t))=l(-sin t,cos tr), é
vec F(gamma(t))cdotdr=(-sin t)(-sin t)+(cos t)(cos t)=sin^2t+cos^2t=1

Passo 4

Como a integral de linha ao redor de uma curva fechada deu 2pineq0, isso quebra a condição necessária para um campo ser conservativo (integral nula em qualquer ciclo). Portanto, vec F não é conservativo, apesar de ter rotacional zero, pois o domínio não é simplesmente conexo.

Resposta

2\pi

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