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Seja
. Verifique que este campo não é conservativo, mesmo sendo o seu
. Mostre que a integral sobre a curva fechada
deste campo é diferente de zero.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo
não é conservativo mesmo tendo
Passo 2
Vamos calcular o rotacional em 2D, que é
Primeiro
e
$$\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{-y}{r2}\Bigr)=\frac{-\bigl((r2)\cdot1 - y\cdot2y\bigr)}{r4}=\frac{-(x2+y2-2y2)}{(x2+y2)2}=\frac{y2-x2}{(x2+y2)2}.
$$
Subtraindo, obtemos .
Subtraindo, obtemos
Passo 3
Agora parametrizamos
. Temos
e
logo o produto interno é
Assim a integral ao longo de
Passo 4
Como a integral de linha ao redor de uma curva fechada deu
, isso quebra a condição necessária para um campo ser conservativo (integral nula em qualquer ciclo). Portanto,
não é conservativo, apesar de ter rotacional zero, pois o domínio não é simplesmente conexo.
Resposta
2\pi