Considere a transformação (u, v)=varphi(x, y) dada por lu=x-y v=x+y com 1 <= x+y <= 2 e y >= 0. Desenhe a imagem de varphi. Calcule a transformação inversa da varphi, isto é, a aplicação psi tal que varphi circ psi=psi circ varphi=I, identidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma transformação matemática que pega coordenadas (x, y) e transforma em (u, v) usando as fórmulas u = x - y e v = x + y. A gente precisa desenhar como fica essa transformação (a imagem da varphi) dentro das condições dadas: 1 <= x + y <= 2 e y >= 0. Depois, vamos achar a transformação inversa psi que desfaz a varphi, ou seja, que volta de (u, v) para (x, y).

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as condições. Temos v = x + y, então a condição 1 <= v <= 2 já está pronta. Também sabemos que y >= 0. Isso vai nos ajudar a desenhar a região da imagem.

Passo 3

Agora, vamos desenhar a imagem de varphi. Como v varia de 1 a 2, vamos desenhar linhas horizontais no plano (u, v) para esses valores de v. Além disso, como y >= 0, e u = x - y, isso implica que x = u + y. Como y >= 0, então x >= u.

Passo 4

Vamos plotar os limites:
  1. Para v = 1, temos x + y = 1. Substituindo y = 0, temos x = 1, então u = 1 - 0 = 1. Então, no ponto (u, v) = (1, 1).
  2. Para v = 2, temos x + y = 2. Substituindo y = 0, temos x = 2, então u = 2 - 0 = 2. No ponto (u, v) = (2, 2).
  3. Além disso, para y = 0, u = x e v = x, então a linha u = v.
Então, a imagem de varphi é uma região no plano (u, v) limitada por 1 <= v <= 2, 1 <= u <= 2 e u <= v.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a transformação inversa psi. Queremos expressar x e y em função de u e v.
Temos:
u = x - y v = x + y
Vamos resolver esse sistema para x e y.

Passo 6

Somando as duas equações:
u + v = (x - y) + (x + y) = 2x Rightarrow x = u + v2
Subtraindo a primeira equação da segunda:
v - u = (x + y) - (x - y) = 2y Rightarrow y = v - u2

Passo 7

Então, a transformação inversa psi é dada por:
psi(u, v) = ( u + v2, v - u2 )

Resposta

A transformação inversa psi é:
psi(u, v) = ( u + v2, v - u2 )

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