Considere a transformação
dada por
com
e
. Desenhe a imagem de
. Calcule a transformação inversa da
, isto é, a aplicação
tal que
, identidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma transformação matemática que pega coordenadas
e transforma em
usando as fórmulas
e
. A gente precisa desenhar como fica essa transformação (a imagem da
) dentro das condições dadas:
e
. Depois, vamos achar a transformação inversa
que desfaz a
, ou seja, que volta de
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as condições. Temos
, então a condição
já está pronta. Também sabemos que
. Isso vai nos ajudar a desenhar a região da imagem.
Passo 3
Agora, vamos desenhar a imagem de
. Como
varia de 1 a 2, vamos desenhar linhas horizontais no plano
para esses valores de
. Além disso, como
, e
, isso implica que
. Como
, então
.
Passo 4
Vamos plotar os limites:
-
Para
, temos . Substituindo , temos , então . Então, no ponto . -
Para
, temos . Substituindo , temos , então . No ponto . -
Além disso, para
, e , então a linha .
Então, a imagem de
é uma região no plano
limitada por
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a transformação inversa
. Queremos expressar
e
em função de
e
.
Temos:
Vamos resolver esse sistema para
e
.
Passo 6
Somando as duas equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 7
Então, a transformação inversa
é dada por:
Resposta
A transformação inversa
é: