Dada a densidade de fluxo D=16r cos (2 theta) atheta C / m^2, use a lei de Gauss para calcular a carga total dentro da região 1.

Passo 1

Beleza, o problema diz: “Temos um vetor densidade de fluxo
D=16r,cos(2theta),hat atheta[C/ m^2]
e a gente quer a carga total dentro da região esférica limitada por
1<= r<=2, 1<=theta<=2, 1<=phi<=2
O conteúdo é Lei de Gauss no vácuo (teorema da divergência): a carga livre dentro do volume é
Q=integralV rhov,dtau com rhov = nabla!cdot!vec D
Para isso precisamos (1) calcular em coordenadas esféricas e (2) fazer o integral de volume.

Passo 2

Primeiro, lembra da fórmula da divergência em esféricas (com nabla!cdot!vec D =1r^2,partial(r^2Dr)partial r +1rsintheta,partial(sintheta,Dtheta)partialtheta +1rsintheta,partial Dphipartialphi ):
nabla!cdot!vec D =1rsintheta,partialpartialtheta l[sintheta,16rcos2thetar]
Aqui sintheta,16rcos2theta =16rl(sinthetacos2thetar) , partialpartialtheta(sinthetacos2theta) =costhetacos2theta-2sinthetasin2theta e nabla!cdot!vec D =16r^2sintheta l[costhetacos2theta-2sinthetasin2thetar] .
Então só sobra
Vamos derivar:
Derivando em :
Logo

Passo 3

Para achar Q=integralr=1^2!integraltheta=1^2!integralphi=1^2 (nabla!cdot!vec D);r^2sintheta;dphi,dtheta,dr , fazemos
Q =integral1^2!integral1^2!integral1^2 16r^2sinthetal[costhetacos2theta-2sinthetasin2thetar] ,r^2sintheta,dphi,dtheta,dr
Substituindo Q =16integraltheta=1^2 l[costhetacos2theta-2sinthetasin2thetar],dtheta e cancelando costhetacos2theta-2sinthetasin2theta =cos^3theta-5costhetasin^2theta =costheta-6sin^2thetacostheta :
Simplifica tudo e lembra que varia de 1 a 2, então , e .
Fica
Agora note que
(esquema: , ).

Passo 4

Integramos em integral(costheta-6sin^2thetacostheta),dtheta =integralcostheta,dtheta -6integralsin^2thetacostheta,dtheta =sintheta -6cdotsin^3theta3 =sintheta-2sin^3theta :
l[sin2-2sin^3 2r]-l[sin1-2sin^3 1r]
Avalia de até :
Multiplica tudo por 16 para obter .

Resposta

Q = 16l[l(sin2 - 2sin^3 2r) - l(sin1 - 2sin^3 1r)r] approx -3,91; C

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