Dada a densidade de fluxo
, use a lei de Gauss para calcular a carga total dentro da região
.
Passo 1
Beleza, o problema diz: “Temos um vetor densidade de fluxo
e a gente quer a carga total dentro da região esférica limitada por
O conteúdo é Lei de Gauss no vácuo (teorema da divergência): a carga livre dentro do volume é
Para isso precisamos (1) calcular
em coordenadas esféricas e (2) fazer o integral de volume.
Passo 2
Primeiro, lembra da fórmula da divergência em esféricas (com
):
Aqui
,
e
.
Então só sobra
Então só sobra
Vamos derivar:
Derivando em
:
Logo
Passo 3
Para achar
, fazemos
Substituindo
e cancelando
:
Simplifica tudo e lembra que
varia de 1 a 2, então
, e
.
Fica
Fica
Agora note que
(esquema:
,
).
Passo 4
Integramos em
:
Avalia de
até
:
Multiplica tudo por 16 para obter
.