Calcule nabla cdot u e nabla times u para os seguintes campos vetoriais:
u(x, y, z)=(z-3 y^2) i+(3 x-z) j+(y-2 x) k.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial u(x,y,z)=(z-3y^2),i+(3x-z),j+(y-2x),k. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, onde usamos os operadores nablacdot e nablatimes.

Passo 2

Para achar o divergente, lembramos que nablacdotu=partial uxpartial x+partial uypartial y+partial uzpartial z, ou seja, basta somar as derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável.
Agora calculamos cada derivada: partialpartial x(z-3y^2)=0, partialpartial y(3x-z)=0 e partialpartial z(y-2x)=0. Somando tudo, o divergente é zero.

Passo 3

Para o rotacional, usamos a definição via determinante:
nablatimesu=i&j&kpartialpartial x&partialpartial y&partialpartial zux&uy&uz

Passo 4

Agora basta calcular cada componente: i) partialyuz-partialzuy=1-(-1)=2; ii) partialzux-partialxuz=1-(-2)=3; iii) partialxuy-partialyux=3-(-6y)=6y+3. Assim obtemos o rotacional.

Resposta

nablacdotu=0, nablatimesu=2,i+3,j+(6y+3),k.

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