Mostre que
é solenoidal se
e
são ambos irrotacionais. (Um campo vetorial é dito solenoidal se seu divergente for nulo.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se dois campos vetoriais
e
são irrotacionais (isto é,
e
), então o campo
é solenoidal (isto é,
). Vamos usar um resultado clássico de cálculo vetorial, que envolve divergente, rotacional e produto vetorial.
Passo 2
Em cálculo vetorial existe a identidade
que vale para quaisquer campos vetoriais
e
. Essa identidade pode ser verificada componente a componente ou consultando tabelas de identidades vetoriais.
Passo 3
Aplicando a identidade acima aos campos
e
, obtemos
Passo 4
Como
e
são irrotacionais, temos
Substituindo na expressão anterior, cada termo do lado direito é zero:
Passo 5
Portanto
o que mostra que
é de fato solenoidal.
Resposta
Como
, o campo
é solenoidal.