Mostre que u times v é solenoidal se u e v são ambos irrotacionais. (Um campo vetorial é dito solenoidal se seu divergente for nulo.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se dois campos vetoriais u e v são irrotacionais (isto é, nablatimesu=0 e nablatimesv=0), então o campo utimesv é solenoidal (isto é, nablacdot(utimesv)=0). Vamos usar um resultado clássico de cálculo vetorial, que envolve divergente, rotacional e produto vetorial.

Passo 2

Em cálculo vetorial existe a identidade
ablacdot(AtimesB)=Bcdot(nablatimesA)-Acdot(nablatimesB)
que vale para quaisquer campos vetoriais A e B. Essa identidade pode ser verificada componente a componente ou consultando tabelas de identidades vetoriais.

Passo 3

Aplicando a identidade acima aos campos u e v, obtemos
nablacdot(utimesv)=vcdot(nablatimesu)-ucdot(nablatimesv)

Passo 4

Como u e v são irrotacionais, temos
nablatimesu=0 e nablatimesv=0
Substituindo na expressão anterior, cada termo do lado direito é zero:
vcdot0-ucdot0=0

Passo 5

Portanto
nablacdot(utimesv)=0,
o que mostra que utimesv é de fato solenoidal.

Resposta

Como nablacdot(utimesv)=0, o campo utimesv é solenoidal.

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