Calcule nabla cdot u e nabla times u para os seguintes campos vetoriais:
u(x, y, z)=(x^3+y z^2) i+(y+x z) j+(z+x y) k;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional (curl) do campo vetorial u(x,y,z) = (x^3 + y z^2),i + (y + x z),j + (z + x y),k. O conteúdo é cálculo de operadores diferenciais em campos vetoriais, e vamos usar as definições de nablacdotu e nablatimesu.

Passo 2

Para o divergente, usamos a definição
nablacdotu = partial uxpartial x + partial uypartial y + partial uzpartial z
Calculando cada termo:
partialpartial x(x^3 + y z^2) = 3x^2,
partialpartial y(y + x z) = 1,
partialpartial z(z + x y) = 1.
Somando, temos
nablacdotu = 3x^2 + 1 + 1 = 3x^2 + 2

Passo 3

Para o rotacional, usamos a definição
nablatimesu = l(partial uzpartial y - partial uypartial zr)i + l(partial uxpartial z - partial uzpartial xr)j + l(partial uypartial x - partial uxpartial yr)k
Agora os parciais:
partialpartial y(z + x y) = x,
partialpartial z(y + x z) = x ⇒ componente i é x - x = 0;
partialpartial z(x^3 + y z^2) = 2y z,
partialpartial x(z + x y) = y ⇒ componente j é 2yz - y = y(2z - 1);
partialpartial x(y + x z) = z,
partialpartial y(x^3 + y z^2) = z^2 ⇒ componente k é z - z^2 = z(1 - z).
Logo,
nablatimesu = 0,i + (2yz - y),j + (z - z^2),k

Resposta

nablacdotu = 3x^2 + 2, nablatimesu = 0,i + (2yz - y),j + (z - z^2),k

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