Calcule
em cada caso.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o gradiente
, isto é, o vetor das derivadas parciais
.
Informações relevantes dadas: depende de
e a parte complicada é a composição
. Note que a expressão exige
para que a razão
faça sentido.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos lembrar as regras que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
- Regra do produto: se
então, ao derivar em relação a ou , é tratado como constante; ao derivar em relação a , é constante. - Regra da cadeia: se
e , então
- Derivada de
em termos elementares é .
Aqui tomamos. Vamos aplicar essas regras passo a passo para cada derivada parcial.
Passo 3
Cálculo de
.
Escrevemos
, então
. Derivando em relação a
(tratando
e
como constantes):
Agora
(porque
é constante). Substituindo,
Simplificamos a fração:
, então
Multiplicando por
dá
. Portanto
Passo 4
Cálculo de
.
Novamente com
e
. Derivando em relação a
(tratando
e
como constantes):
Calculamos
.
Substituindo e usando ,
Substituindo e usando
Passo 5
Cálculo de
.
Aqui é direto:
e
é função de
independente de
. Portanto
Passo 6
Reunindo as três derivadas parciais, o gradiente é o vetor
Observação sobre domínio: essa fórmula é válida quando
(para que
esteja bem definido) — em particular
sempre que
.