Calcule \nabla f em cada caso.
f=z \operatorname{arctg}(x / y)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=z\,\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right) e pede o gradiente \nabla f, isto é, o vetor das derivadas parciais \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Informações relevantes dadas: \;f depende de x,y,z e a parte complicada é a composição \operatorname{arctg}(x/y). Note que a expressão exige y\neq0 para que a razão x/y faça sentido.

Passo 2

Vamos lembrar as regras que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
  • Regra do produto: se f(x,y,z)=z\cdot g(x,y) então, ao derivar em relação a x ou y, z é tratado como constante; ao derivar em relação a z, g(x,y) é constante.
  • Regra da cadeia: se g(u)=\operatorname{arctg}(u) e u=u(x,y), então
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}(u)=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{dx}.
  • Derivada de \operatorname{arctg}(u) em termos elementares é \dfrac{1}{1+u^{2}}.
    Aqui tomamos u=\dfrac{x}{y}. Vamos aplicar essas regras passo a passo para cada derivada parcial.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Escrevemos u=\dfrac{x}{y}, então f=z\,\operatorname{arctg}(u). Derivando em relação a x (tratando z e y como constantes):
\frac{\partial f}{\partial x} = z\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}(u) = z\cdot\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Agora \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{x}{y}\right)=\dfrac{1}{y} (porque y é constante). Substituindo,
\frac{\partial f}{\partial x} = z\cdot\frac{1}{1+(x/y)^{2}}\cdot\frac{1}{y}.
Simplificamos a fração: 1+(x/y)^{2}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}}, então
\frac{1}{1+(x/y)^{2}}=\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Multiplicando por \dfrac{1}{y} \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{z\,y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Novamente com u=\dfrac{x}{y} e f=z\,\operatorname{arctg}(u). Derivando em relação a y (tratando z e x como constantes):
\frac{\partial f}{\partial y} = z\cdot\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Calculamos \dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(x\,y^{-1}\right)=x\cdot(-1)\,y^{-2}=-\frac{x}{y^{2}}.
Substituindo e usando \dfrac{1}{1+(x/y)^{2}}=\dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y} = z\cdot\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\left(-\frac{x}{y^{2}}\right) = -\frac{z\,x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Aqui é direto: f=z\cdot\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{x}{y}\right) e \operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{x}{y}\right) é função de x,y independente de z. Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}=\operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right).

Passo 6

Reunindo as três derivadas parciais, o gradiente é o vetor
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{z\,y}{x^{2}+y^{2}},\; -\frac{z\,x}{x^{2}+y^{2}},\; \operatorname{arctg}\!\left(\frac{x}{y}\right)\right).
Observação sobre domínio: essa fórmula é válida quando y\neq0 (para que x/y esteja bem definido) — em particular x^{2}+y^{2}>0 sempre que y\neq0.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\left(\dfrac{z\,y}{x^{2}+y^{2}},\; -\dfrac{z\,x}{x^{2}+y^{2}},\; \operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{x}{y}\right)\right)

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