Questão 4 (2.5 pontos):
(a) Mostre que o ponto da reta x-y=10 mais próximo do ponto P=\left(x_{0}, y_{0}\right) é P^{\prime}=\left(x_{0}+\lambda, y_{0}-\lambda\right), onde \lambda=\frac{1}{2}\left(10-x_{0}+y_{0}\right).
(b) Determine os pontos da elipse x^{2}+4 y^{2}=16 que estão mais próximos e mais distantes da reta x-y=10.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) Dá a reta x-y=10 e um ponto P=\left(x_{0},y_{0}\right). Pede para mostrar que o ponto da reta mais próximo de P é P'=\left(x_{0}+\lambda,\;y_{0}-\lambda\right) com \lambda=\dfrac{1}{2}\left(10-x_{0}+y_{0}\right).
(b) Dá a elipse x^{2}+4y^{2}=16 e a mesma reta x-y=10. Pede para determinar os pontos da elipse que estão mais próximos e mais distantes da reta x-y=10.
Informações relevantes dadas:
\text{reta: }x-y=10,\qquad P=(x_{0},y_{0}),\qquad \text{elipse: }x^{2}+4y^{2}=16.

Passo 2

(a) Ideia geométrica e condição de projeção perpendicular.
Um ponto de uma reta que minimiza a distância até um ponto exterior é a projeção ortogonal desse ponto sobre a reta. A razão é: o segmento que liga o ponto exterior ao ponto mais próximo da reta deve ser perpendicular à reta.
A reta x-y=10 tem normal n=(1,-1) (porque o lado esquerdo é 1\cdot x+(-1)\cdot y). Isso significa que qualquer deslocamento da forma (\lambda,-\lambda)=\lambda(1,-1) é paralelo ao vetor normal, ou seja, é perpendicular à direção da reta.
Logo o candidato para a projeção de P=(x_{0},y_{0}) na reta é
P'=(x_{0}+\lambda,\;y_{0}-\lambda),
pois esse ponto está em um deslocamento ao longo do normal.

Passo 3

(a) Determinar \lambda impondo que P' pertence à reta.
Se P' está na reta x-y=10, então substituímos:
(x_{0}+\lambda)-(y_{0}-\lambda)=10.
Resolvendo:
x_{0}+\lambda-y_{0}+\lambda=10 \quad\Rightarrow\quad x_{0}-y_{0}+2\lambda=10.
Isolando \lambda:
\lambda=\frac{1}{2}\left(10-x_{0}+y_{0}\right).
Isso coincide com a expressão pedida. Como o deslocamento foi ao longo do vetor normal, P' é realmente o ponto da reta mais próximo de P.

Passo 4

(b) Preparação: reduzir a otimização da distância à otimização de uma função linear.
A distância de um ponto (x,y) à reta x-y=10 é dada por (fórmula distância ponto-reta):
d(x,y)=\frac{|x-y-10|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{|x-y-10|}{\sqrt{2}}.
Como o denominador \sqrt{2} é constante, minimizar ou maximizar d(x,y) na elipse é equivalente a minimizar ou maximizar a quantidade F(x,y)=x-y-10 (ou agir sobre seu valor absoluto). Portanto procuramos os extremos de F(x,y) sujeitos à restrição g(x,y)=x^{2}+4y^{2}-16=0.

Passo 5

(b) Método dos multiplicadores de Lagrange (explicação rápida).
Para otimizar uma função F(x,y) sob a restrição g(x,y)=0 procuramos \nabla F=\mu \nabla g com alguma constante \mu (o multiplicador). Aqui:
\nabla F=(1,-1),\qquad \nabla g=(2x,8y).
A condição \nabla F=\mu \nabla g dá o sistema
1=2\mu x,\qquad -1=8\mu y.
De cada equação isolamos \mu:
\mu=\frac{1}{2x},\qquad \mu=-\frac{1}{8y}.
Igualando as duas expressões para \mu:
\frac{1}{2x}=-\frac{1}{8y}\quad\Rightarrow\quad 8y=-2x\quad\Rightarrow\quad x+4y=0.

Passo 6

(b) Resolver com a restrição da elipse.
Substituindo x=-4y na elipse:
x^{2}+4y^{2}=(-4y)^{2}+4y^{2}=16y^{2}+4y^{2}=20y^{2}=16.
Logo
y^{2}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}\quad\Rightarrow\quad y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}.
Então
x=-4y\quad\Rightarrow\quad x=\mp\frac{8}{\sqrt{5}}.
Portanto os dois pontos críticos na elipse são
\left(-\frac{8}{\sqrt{5}},\;\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\quad\text{e}\quad\left(\frac{8}{\sqrt{5}},\;-\frac{2}{\sqrt{5}}\right).

Passo 7

(b) Identificar qual é o mínimo e qual é o máximo e calcular as distâncias.
Calcule F(x,y)=x-y-10 em cada ponto.
Para \left(-\dfrac{8}{\sqrt{5}},\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right):
x-y=-\frac{8}{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{10}{\sqrt{5}}=-2\sqrt{5},
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F=-2\sqrt{5}-10\quad\Rightarrow\quad |F|=10+2\sqrt{5}.
Para \left(\dfrac{8}{\sqrt{5}},-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right):
x-y=\frac{8}{\sqrt{5}}-(-\frac{2}{\sqrt{5}})=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5},
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F=2\sqrt{5}-10\quad\Rightarrow\quad |F|=10-2\sqrt{5}.
Como 10+2\sqrt{5}>10-2\sqrt{5}>0, o ponto \left(-\dfrac{8}{\sqrt{5}},\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) fornece a distância máxima e o ponto \left(\dfrac{8}{\sqrt{5}},-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) a distância mínima.
As distâncias correspondentes (dividindo por \sqrt{2}) podem ser simplificadas:
d_{\min}=\frac{10-2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}-\sqrt{10}, \qquad d_{\max}=\frac{10+2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}+\sqrt{10}.

Resposta

(a) P'=\left(x_{0}+\lambda,\;y_{0}-\lambda\right),\qquad \lambda=\dfrac{1}{2}\left(10-x_{0}+y_{0}\right).
(b) Ponto mais próximo: \displaystyle \left(\frac{8}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Ponto mais distante: \displaystyle \left(-\frac{8}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).

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