Questão 4 (2.5 pontos):
(a) Mostre que o ponto da reta
mais próximo do ponto
é
, onde
.
(b) Determine os pontos da elipse
que estão mais próximos e mais distantes da reta
.
(a) Mostre que o ponto da reta
(b) Determine os pontos da elipse
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(a) Dá a reta
e um ponto
. Pede para mostrar que o ponto da reta mais próximo de
é
com
.
(b) Dá a elipse
e a mesma reta
. Pede para determinar os pontos da elipse que estão mais próximos e mais distantes da reta
.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
(a) Ideia geométrica e condição de projeção perpendicular.
Um ponto de uma reta que minimiza a distância até um ponto exterior é a projeção ortogonal desse ponto sobre a reta. A razão é: o segmento que liga o ponto exterior ao ponto mais próximo da reta deve ser perpendicular à reta.
Um ponto de uma reta que minimiza a distância até um ponto exterior é a projeção ortogonal desse ponto sobre a reta. A razão é: o segmento que liga o ponto exterior ao ponto mais próximo da reta deve ser perpendicular à reta.
A reta
tem normal
(porque o lado esquerdo é
). Isso significa que qualquer deslocamento da forma
é paralelo ao vetor normal, ou seja, é perpendicular à direção da reta.
Logo o candidato para a projeção de
na reta é
pois esse ponto está em um deslocamento ao longo do normal.
Passo 3
(a) Determinar
impondo que
pertence à reta.
Se está na reta
, então substituímos:
Se
Resolvendo:
Isolando
:
Isso coincide com a expressão pedida. Como o deslocamento foi ao longo do vetor normal,
é realmente o ponto da reta mais próximo de
.
Passo 4
(b) Preparação: reduzir a otimização da distância à otimização de uma função linear.
A distância de um ponto à reta
é dada por (fórmula distância ponto-reta):
A distância de um ponto
Como o denominador
é constante, minimizar ou maximizar
na elipse é equivalente a minimizar ou maximizar a quantidade
(ou agir sobre seu valor absoluto). Portanto procuramos os extremos de
sujeitos à restrição
.
Passo 5
(b) Método dos multiplicadores de Lagrange (explicação rápida).
Para otimizar uma função sob a restrição
procuramos
com alguma constante
(o multiplicador). Aqui:
Para otimizar uma função
A condição
dá o sistema
De cada equação isolamos
:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 6
(b) Resolver com a restrição da elipse.
Substituindo na elipse:
Substituindo
Logo
Então
Portanto os dois pontos críticos na elipse são
Passo 7
(b) Identificar qual é o mínimo e qual é o máximo e calcular as distâncias.
Calcule em cada ponto.
Calcule
Para
:
logo
Para
:
logo
Como
, o ponto
fornece a distância máxima e o ponto
a distância mínima.
As distâncias correspondentes (dividindo por
) podem ser simplificadas:
Resposta
(a)
(b) Ponto mais próximo:
.
Ponto mais distante: .
Ponto mais distante: