Calcule \nabla f em cada caso.
f=e^{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular \nabla f para a função dada. Informações fornecidas:
f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}.
A tarefa específica é encontrar o vetor gradiente \nabla f, ou seja, as derivadas parciais de f em relação a x e a y.

Passo 2

O que é \nabla f e como calculamos? \nabla f (o gradiente de f) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f:
\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Cada derivada parcial significa: derivar f considerando a outra variável como constante. Quando f é uma composição do tipo f(x,y)=e^{u(x,y)}, usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{u} é e^{u} vezes a derivada de u.

Passo 3

Identificamos a função interna para aplicar a regra da cadeia. Seja
u(x,y)=x^{2}-y^{2},
assim
f(x,y)=e^{u(x,y)}.
Vamos calcular primeiro \dfrac{\partial f}{\partial x}. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Agora calculamos \dfrac{\partial u}{\partial x}. Como u(x,y)=x^{2}-y^{2} e y é tratado como constante ao derivar em relação a x,
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x^{2}-y^{2}}\cdot 2x = 2x\,e^{x^{2}-y^{2}}.

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{\partial f}{\partial y}.Usamos novamente a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Calculamos \dfrac{\partial u}{\partial y}. Para u(x,y)=x^{2}-y^{2}, derivando em relação a y com x constante,
\frac{\partial u}{\partial y}=-2y.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y) = -2y\,e^{x^{2}-y^{2}}.

Passo 5

Juntando as componentes, o gradiente fica
\nabla f = \left(2x\,e^{x^{2}-y^{2}},\;-2y\,e^{x^{2}-y^{2}}\right).
Podemos fatorar 2e^{x^{2}-y^{2}} se quisermos uma forma mais compacta:
\nabla f = 2e^{x^{2}-y^{2}}\,(x,\,-y).

Passo 6

Exemplo rápido para fixar: se quisermos \nabla f em (x,y)=(1,0), substituímos na expressão:
\nabla f(1,0) = \left(2\cdot1\cdot e^{1^{2}-0^{2}},\; -2\cdot0\cdot e^{1^{2}-0^{2}}\right) = (2e,\,0).
Vai dar certo na prova — respira, copia a regra da cadeia e aplica passo a passo!

Resposta

\nabla f = \left(2x\,e^{x^{2}-y^{2}},\;-2y\,e^{x^{2}-y^{2}}\right) = 2e^{x^{2}-y^{2}}\,(x,\,-y)

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