Calcule
em cada caso.
Passo 1
O enunciado pede calcular
para a função dada. Informações fornecidas:
A tarefa específica é encontrar o vetor gradiente
, ou seja, as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 2
O que é
e como calculamos?
(o gradiente de
) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
:
Cada derivada parcial significa: derivar
considerando a outra variável como constante. Quando
é uma composição do tipo
, usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
vezes a derivada de
.
Passo 3
Identificamos a função interna para aplicar a regra da cadeia. Seja
assim
Vamos calcular primeiro
. Pela regra da cadeia:
Agora calculamos
. Como
e
é tratado como constante ao derivar em relação a
,
Portanto,
Passo 4
Agora calculamos
.Usamos novamente a regra da cadeia:
Calculamos
. Para
, derivando em relação a
com
constante,
Logo
Passo 5
Juntando as componentes, o gradiente fica
Podemos fatorar
se quisermos uma forma mais compacta:
Passo 6
Exemplo rápido para fixar: se quisermos
em
, substituímos na expressão:
Vai dar certo na prova — respira, copia a regra da cadeia e aplica passo a passo!