Seja
, onde
é de classe
em
.
(a) Expresse
em termos das derivadas parciais de
.
(b) Verifique que
.
(a) Expresse
(b) Verifique que
Passo 1
O enunciado dá a função
, com
de classe
em
. As perguntas são:
(a) Expressar em termos das derivadas parciais de
.
(b) Verificar que .
(a) Expressar
(b) Verificar que
Informações relevantes fornecidas:
Não há valores numéricos de
dados, apenas a regularidade
(que garante existência e continuidade das derivadas parciais e permite usar a regra da cadeia).
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a composição de forma explícita definindo funções de uma variável:
Então podemos ver
como composição
Explicação didática: as derivadas parciais
e
são as taxas de variação de
quando se varia apenas
ou apenas
, respectivamente, mantendo a outra variável fixa. A hipótese
garante que essas derivadas parciais existem e são contínuas, o que nos permite aproximar
linearmente localmente e aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
A ideia da regra da cadeia (mostrada de forma intuitiva) é usar a aproximação linear de
em torno do ponto
. Para um pequeno incremento
temos
e
. Pela aproximação linear de
,
Dividindo por
e fazendo
(usando que
e
são diferenciáveis e que
são contínuas) obtemos a derivada total:
Este é o enunciado da regra da cadeia para composição
. Aqui cada termo tem sentido claro:
-
é a sensibilidade de frente a variações em naquele ponto; -
é quanto muda quando muda; - o produto dá a contribuição total de
-variações para a variação de ; análogo para .
Passo 4
Agora calculamos explicitamente
e
:
Substituindo na fórmula da regra da cadeia obtemos a expressão procurada:
Observação pedagógica: é importante lembrar que as derivadas parciais são avaliadas no par
.
Passo 5
Agora verificamos a parte (b) avaliando em
. Primeiro calculamos os argumentos:
Aplicando a expressão do passo anterior em
:
Portanto
Isso confirma exatamente a igualdade pedida.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (opcional, para você praticar na prova): se tomarmos
, então
e
. Pela fórmula do passo 4:
mas lembrando
dá
Em
obtemos
. Se quiser, você pode conferir fazendo a composição direta
e derivando.