Seja z=f\left(x^{2}, 3 x+1\right), onde f(u, v) é de classe C^{1} em \mathbb{R}^{2}.
(a) Expresse \frac{d z}{d x} em termos das derivadas parciais de f.
(b) Verifique que \frac{d z}{d x}(1)=2 \frac{\partial f}{\partial u}(1,4)+3 \frac{\partial f}{\partial v}(1,4).

Passo 1

O enunciado dá a função z=f\left(x^{2},3x+1\right), com f(u,v) de classe C^{1} em \mathbb{R}^{2}. As perguntas são:
(a) Expressar \dfrac{d z}{d x} em termos das derivadas parciais de f.
(b) Verificar que \dfrac{d z}{d x}(1)=2\,\dfrac{\partial f}{\partial u}(1,4)+3\,\dfrac{\partial f}{\partial v}(1,4).
Informações relevantes fornecidas:
z=f\big(x^{2},\,3x+1\big),\qquad f\in C^{1}(\mathbb{R}^{2}).
Não há valores numéricos de f dados, apenas a regularidade C^{1} (que garante existência e continuidade das derivadas parciais e permite usar a regra da cadeia).

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a composição de forma explícita definindo funções de uma variável:
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=3x+1.
Então podemos ver z como composição
z(x)=f\big(u(x),v(x)\big).
Explicação didática: as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial u} e \dfrac{\partial f}{\partial v} são as taxas de variação de f quando se varia apenas u ou apenas v, respectivamente, mantendo a outra variável fixa. A hipótese f\in C^{1} garante que essas derivadas parciais existem e são contínuas, o que nos permite aproximar f linearmente localmente e aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

A ideia da regra da cadeia (mostrada de forma intuitiva) é usar a aproximação linear de f em torno do ponto (u(x),v(x)). Para um pequeno incremento \Delta x temos \Delta u=u(x+\Delta x)-u(x) e \Delta v=v(x+\Delta x)-v(x). Pela aproximação linear de f,
\Delta z = f\big(u(x+\Delta x),v(x+\Delta x)\big)-f\big(u(x),v(x)\big)\approx \frac{\partial f}{\partial u}\big(u(x),v(x)\big)\,\Delta u + \frac{\partial f}{\partial v}\big(u(x),v(x)\big)\,\Delta v.
Dividindo por \Delta x e fazendo \Delta x\to0 (usando que u e v são diferenciáveis e que \partial f/\partial u,\partial f/\partial v são contínuas) obtemos a derivada total:
\frac{d z}{d x} = \frac{\partial f}{\partial u}\big(u(x),v(x)\big)\,\frac{d u}{d x} + \frac{\partial f}{\partial v}\big(u(x),v(x)\big)\,\frac{d v}{d x}.
Este é o enunciado da regra da cadeia para composição f(u(x),v(x)). Aqui cada termo tem sentido claro:
  • \dfrac{\partial f}{\partial u}\big(u(x),v(x)\big) é a sensibilidade de f frente a variações em u naquele ponto;
  • \dfrac{d u}{d x} é quanto u muda quando x muda;
  • o produto dá a contribuição total de u-variações para a variação de z; análogo para v.

Passo 4

Agora calculamos explicitamente \dfrac{d u}{d x} e \dfrac{d v}{d x}:
\frac{d u}{d x}=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x, \qquad \frac{d v}{d x}=\frac{d}{dx}\big(3x+1\big)=3.
Substituindo na fórmula da regra da cadeia obtemos a expressão procurada:
\boxed{\frac{d z}{d x}=2x\, \frac{\partial f}{\partial u}\big(x^{2},\,3x+1\big) +3\, \frac{\partial f}{\partial v}\big(x^{2},\,3x+1\big).}
Observação pedagógica: é importante lembrar que as derivadas parciais são avaliadas no par \big(u(x),v(x)\big)=\big(x^{2},3x+1\big).

Passo 5

Agora verificamos a parte (b) avaliando em x=1. Primeiro calculamos os argumentos:
u(1)=1^{2}=1,\qquad v(1)=3\cdot1+1=4.
Aplicando a expressão do passo anterior em x=1:
\frac{d z}{d x}(1) =2\cdot 1\cdot \frac{\partial f}{\partial u}(1,4) +3\cdot \frac{\partial f}{\partial v}(1,4).
Portanto
\boxed{\frac{d z}{d x}(1)=2\frac{\partial f}{\partial u}(1,4)+3\frac{\partial f}{\partial v}(1,4).}
Isso confirma exatamente a igualdade pedida.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (opcional, para você praticar na prova): se tomarmos f(u,v)=u+v^{2}, então \dfrac{\partial f}{\partial u}=1 e \dfrac{\partial f}{\partial v}=2v. Pela fórmula do passo 4:
\frac{d z}{d x}=2x\cdot 1 + 3\cdot(2v)=2x+6v,
mas lembrando v=3x+1
\frac{d z}{d x}=2x+6(3x+1)=2x+18x+6=20x+6.
Em x=1 obtemos \dfrac{d z}{d x}(1)=20\cdot1+6=26. Se quiser, você pode conferir fazendo a composição direta z(x)=x^{2}+(3x+1)^{2} e derivando.

Resposta

\displaystyle \frac{d z}{d x}=2x\, \frac{\partial f}{\partial u}\big(x^{2},\,3x+1\big) +3\, \frac{\partial f}{\partial v}\big(x^{2},\,3x+1\big)
\displaystyle \frac{d z}{d x}(1)=2\frac{\partial f}{\partial u}(1,4)+3\frac{\partial f}{\partial v}(1,4)

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