Calcule nabla times F e nabla cdot F do campo F(x, y, z)=z i+y j+x k e decida se F é:
(a) irrotacional e/ou (b) imcompressível.

Passo 1

Temos o campo F(x,y,z)=z,i+y,j+x,k. O que precisamos é calcular o rotacional nablatimesF e a divergência nablacdotF usando derivadas parciais.

Passo 2

Para encontrar a divergência, aplicamos a definição
nablacdotF=partial Fxpartial x+partial Fypartial y+partial Fzpartial z
Aqui Fx=z, Fy=y e Fz=x, então
partial zpartial x=0, partial ypartial y=1, partial xpartial z=0
Logo,
nablacdotF=0+1+0=1

Passo 3

Para achar o rotacional, usamos
nablatimesF=l(partial Fzpartial y-partial Fypartial z,;partial Fxpartial z-partial Fzpartial x,;partial Fypartial x-partial Fxpartial yr)
Calculando cada termo:
partial xpartial y-partial ypartial z=0-0=0, partial zpartial z-partial xpartial x=1-1=0, partial ypartial x-partial zpartial y=0-0=0
Portanto
nablatimesF=(0,0,0)

Passo 4

Um campo é dito irrotacional se nablatimesF=0 e incompressível se nablacdotF=0. Analisando nossos resultados:

Resposta

nablatimesF=(0,0,0), nablacdotF=1. Logo, F é irrotacional e não incompressível.

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