Encontre a solução geral das equaçÔes de Euler-Cauchy abaixo, no item (f) encontre a solução do problema de valor inicial.
(a) t^2 d^2 yd t^2+2 t d yd t-6 y=0 ; t>0
(b) d^2 wd t^2+6t d wd t+4t^2 w=0 ; t>0
© 9 t^2 y^prime prime(t)+a 5 t y^prime(t)+y(t)=0 ; t>0
(d) y^prime prime(t)-1t y^prime(t)+5t^2 y(t)=0 ; t<0
(e) t^2 y^prime prime+9 t y^prime+17 y=0 ; t<0
(f) lt^2 y^prime prime(t)-4 t y^prime(t)+4 y(t)=0 ; y(1)=-2, y^prime(1)=-11

Passo 1

Estamos lidando com equações de Euler–Cauchy, que têm forma geral t^2y''+aty'+b y=0. Queremos achar a solução geral de (a) a (e) e, em (f), ainda satisfazer as condições iniciais.

Passo 2

Para esse tipo de equação usamos o método de tentativa y=t^m. Como y'=m t^m-1 e y''=m(m-1)t^m-2, ao substituir na equação obtemos a equação característica em m:
m(m-1)+a m + b = 0
Onde a e b vêm dos coeficientes da eq. original. Se as raízes m1 e m2 forem distintas e reais,
y=C1t^m1+C2t^m2.
Se forem iguais (raiz dupla m),
m=alphapm ibeta.
Se complexas y=t^alpha[C1cos(betaln t)+C2sin(betaln t)],
.

Passo 3

(a) Na equação t^2y''+2t y'-6y=0 a característica é
m(m-1)+2m-6=0implies m^2+m-6=0implies m=2,,-3
Logo
y=C1t^2+C2t^-3.

Passo 4

(b) Escrevendo w''+tfrac6t w'+tfrac4t^2w=0 como t^2w''+6t w'+4w=0, tem-se
m(m-1)+6m+4=0implies m^2+5m+4=0implies m=-1,,-4
Portanto
w=C1t^-1+C2t^-4.

Passo 5

© Para 9t^2y''+5t y'+y=0 (interpretamos o coeficiente de y' como 5), dividindo por 9:
m(m-1)+tfrac59m+tfrac19=0implies 9m^2-4m+1=0implies m=2pm iraiz59
Assim são raízes complexas alpha=2/9, beta=raiz5/9 e
y=t^2/9[C1cos(tfracraiz59ln t)+C2sin(tfracraiz59ln t)].

Passo 6

(d) Na equação y''-tfrac1t y'+tfrac5t^2y=0 multiplica-se por t^2:
m(m-1)-m+5=0implies m^2-2m+5=0implies m=1pm2i
Logo para t<0
y=t^1[C1cos(2ln|t|)+C2sin(2ln|t|)].

Passo 7

(e) Em t^2y''+9t y'+17y=0 a característica é
m(m-1)+9m+17=0implies m^2+8m+17=0implies m=-4pm i
Logo para t<0
y=t^-4[C1cos(ln|t|)+C2sin(ln|t|)].

Passo 8

(f) A equação t^2y''-4t y'+4y=0
m(m-1)-4m+4=0implies m^2-5m+4=0implies m=1,,4
Então y=C1t+C2t^4. As condições iniciais em t=1 dão
C1+C2=-2 e C1+4C2=-11. Resolvendo, C2=-3, C1=1.

Passo 9

Portanto a solução que satisfaz y(1)=-2, y'(1)=-11 é y(t)=t-3t^4.

Resposta

(a) y=C_1t2+C_2t{-3}
(b) w=C_1t{-1}+C_2t{-4}
© y=t^{2/9}[C_1\cos(\tfrac{\sqrt5}{9}\ln t)+C_2\sin(\tfrac{\sqrt5}{9}\ln t)]
(d) y=t[ C_1\cos(2\ln|t|)+C_2\sin(2\ln|t|) ] for t<0
(e) y=t^{-4}[C_1\cos(\ln|t|)+C_2\sin(\ln|t|)] for t<0
(f) y(t)=t-3t^4

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