Encontre a solução geral das equaçÔes de Euler-Cauchy abaixo, no item (f) encontre a solução do problema de valor inicial.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Estamos lidando com equações de Euler–Cauchy, que têm forma geral
. Queremos achar a solução geral de (a) a (e) e, em (f), ainda satisfazer as condições iniciais.
Passo 2
Para esse tipo de equação usamos o método de tentativa
. Como
e
, ao substituir na equação obtemos a equação característica em
:
Onde
e
vêm dos coeficientes da eq. original. Se as raízes
e
forem distintas e reais,
.
Se forem iguais (raiz dupla ),
.
Se complexas ,
.
Se forem iguais (raiz dupla
Se complexas
Passo 3
(a) Na equação
a característica é
Logo
.
Passo 4
(b) Escrevendo
como
, tem-se
Portanto
.
Passo 5
© Para
(interpretamos o coeficiente de
como 5), dividindo por 9:
Assim são raízes complexas
,
e
.
Passo 6
(d) Na equação
multiplica-se por
:
Logo para
.
Passo 7
(e) Em
a característica é
Logo para
.
Passo 8
(f) A equação
dá
Então
. As condições iniciais em
dão
e
. Resolvendo,
,
.
Passo 9
Portanto a solução que satisfaz
,
é
.
Resposta
(a) y=C_1t2+C_2t{-3}
(b) w=C_1t{-1}+C_2t{-4}
© y=t^{2/9}[C_1\cos(\tfrac{\sqrt5}{9}\ln t)+C_2\sin(\tfrac{\sqrt5}{9}\ln t)]
(d) y=t[ C_1\cos(2\ln|t|)+C_2\sin(2\ln|t|) ] for t<0
(e) y=t^{-4}[C_1\cos(\ln|t|)+C_2\sin(\ln|t|)] for t<0
(f) y(t)=t-3t^4
(b) w=C_1t{-1}+C_2t{-4}
© y=t^{2/9}[C_1\cos(\tfrac{\sqrt5}{9}\ln t)+C_2\sin(\tfrac{\sqrt5}{9}\ln t)]
(d) y=t[ C_1\cos(2\ln|t|)+C_2\sin(2\ln|t|) ] for t<0
(e) y=t^{-4}[C_1\cos(\ln|t|)+C_2\sin(\ln|t|)] for t<0
(f) y(t)=t-3t^4