Nos itens a seguir, encontre uma solução em sĂ©rie de potĂȘncias em torno de x=0 para as equaçÔes diferenciais a seguir.
y^prime+(x+2) y=0

Passo 1

O enunciado pede uma solução em série de potências em torno de x=0 para a EDO linear de primeira ordem y′ + (x+2) y = 0. Vamos usar a técnica de desenvolver y como uma soma ∑ aₙ xⁿ e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes aₙ.

Passo 2

Assumimos a solução na forma
y(x)=sumn=0^inftyan x^n,
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y'(x)=sumn=1^inftyn,an x^n-1
Substituindo na EDO obtemos
sumn=1^inftyn,an x^n-1 + 2sumn=0^inftyan x^n + sumn=0^inftyan x^n+1 = 0

Passo 3

Para comparar potências de x, reindexamos os somatórios: no primeiro definimos m=n−1, ficando
summ=0^infty(m+1)am+1 x^m,
no segundo temos
2summ=0^inftyam x^m,
e no terceiro definimos m=n+1, ficando
summ=1^inftyam-1 x^m

Passo 4

Agora juntamos tudo em um único somatório. Para m=0 o terceiro soma não contribui, então comparando coeficientes de x⁰:
a1 + 2a0 = 0 Longrightarrow a1 = -2a0
Para m≥1 temos
(m+1)am+1 + 2am + am-1 = 0 Longrightarrow am+1 = -2am + am-1m+1

Passo 5

Agora calculamos alguns coeficientes em função de a₀ livre:
a₁ = -2a₀,
a₂ = -\tfrac{2a₁ + a₀}{2} = \tfrac{3}{2}a₀,
a₃ = -\tfrac{2a₂ + a₁}{3} = -\tfrac{1}{3}a₀,
a₄ = -\tfrac{2a₃ + a₂}{4} = \tfrac{1}{8}a₀, etc.

Passo 6

Portanto a expansão em série fica
y(x)=a0l(1 - 2x + tfrac32x^2 - tfrac13x^3 + tfrac18x^4 + cdotsr)

Passo 7

Como verificação, essa série é exatamente a expansão de y = C e^{-2x - x^2/2}, que é a solução geral da EDO.

Resposta

y(x)=C,e^{-2x - x^2/2}=C\Bigl(1 - 2x + \tfrac{3}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{1}{8}x^4 + \cdots\Bigr)

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