Nos itens a seguir, encontre uma solução em sĂ©rie de potĂȘncias em torno de
para as equaçÔes diferenciais a seguir.
Passo 1
O enunciado pede uma solução em série de potências em torno de x=0 para a EDO linear de primeira ordem y′ + (x+2) y = 0. Vamos usar a técnica de desenvolver y como uma soma ∑ aₙ xⁿ e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes aₙ.
Passo 2
Assumimos a solução na forma
logo
Substituindo na EDO obtemos
Passo 3
Para comparar potências de x, reindexamos os somatórios: no primeiro definimos m=n−1, ficando
no segundo temos
e no terceiro definimos m=n+1, ficando
Passo 4
Agora juntamos tudo em um único somatório. Para m=0 o terceiro soma não contribui, então comparando coeficientes de x⁰:
Para m≥1 temos
Passo 5
Agora calculamos alguns coeficientes em função de a₀ livre:
a₁ = -2a₀,
a₂ = -\tfrac{2a₁ + a₀}{2} = \tfrac{3}{2}a₀,
a₃ = -\tfrac{2a₂ + a₁}{3} = -\tfrac{1}{3}a₀,
a₄ = -\tfrac{2a₃ + a₂}{4} = \tfrac{1}{8}a₀, etc.
a₁ = -2a₀,
a₂ = -\tfrac{2a₁ + a₀}{2} = \tfrac{3}{2}a₀,
a₃ = -\tfrac{2a₂ + a₁}{3} = -\tfrac{1}{3}a₀,
a₄ = -\tfrac{2a₃ + a₂}{4} = \tfrac{1}{8}a₀, etc.
Passo 6
Portanto a expansão em série fica
Passo 7
Como verificação, essa série é exatamente a expansão de y = C e^{-2x - x^2/2}, que é a solução geral da EDO.
Resposta
y(x)=C,e^{-2x - x^2/2}=C\Bigl(1 - 2x + \tfrac{3}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{1}{8}x^4 + \cdots\Bigr)