Calcule \nabla V, \nabla \cdot \nabla V e \nabla \times \nabla V se:
V=3 x^{2} y+x z

Passo 1

O enunciado pede para calcular três quantidades a partir da função escalar V:
V = 3 x^{2} y + x z.
As perguntas são:
  1. calcular \nabla V (o gradiente de V);
  2. calcular \nabla \cdot \nabla V (a divergência do gradiente, que é o laplaciano de V);
  3. calcular \nabla \times \nabla V (o rotacional do gradiente).
    Informações relevantes dadas: V é função das variáveis cartesianas \(x,y,z) e está explicitada acima. Não há outras condições ou restrições.

Passo 2

Vamos lembrar o que é o gradiente e como calculá-lo. O gradiente de uma função escalar V(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais de V em relação a cada coordenada. A definição é:
\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y},\;\frac{\partial V}{\partial z}\right).
Aqui \frac{\partial V}{\partial x} significa “derivar V tratando y e z como constantes” e de modo análogo para as outras derivadas. Vou aplicar isso ao nosso V.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de V uma a uma.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(3x^{2}y + xz\right).
  • Para o termo 3x^{2}y: y é constante, então a derivada é 3\cdot 2x \cdot y = 6xy.
  • Para o termo xz: z é constante, derivada é z.
    Somando,
\frac{\partial V}{\partial x}=6xy + z.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial V}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(3x^{2}y + xz\right).
  • Para 3x^{2}y: x é constante, derivada é 3x^{2}.
  • Para xz: não depende de y, derivada é 0.
    Logo
\frac{\partial V}{\partial y}=3x^{2}.
Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(3x^{2}y + xz\right).
  • 3x^{2}y não depende de z, derivada 0.
  • xz deriva para x (pois x é constante em relação a z).
    Portanto
\frac{\partial V}{\partial z}=x.

Passo 4

Agora juntamos as componentes para formar o gradiente:
\nabla V = \left(6xy + z,\; 3x^{2},\; x\right).
Isso é um campo vetorial cujo primeiro componente é \frac{\partial V}{\partial x}, segundo é \frac{\partial V}{\partial y} e terceiro é \frac{\partial V}{\partial z}.

Passo 5

Vamos lembrar o que é a divergência do gradiente (o laplaciano). Para um campo vetorial F=(F_x,F_y,F_z) a divergência é
\nabla\cdot F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}.
No caso F=\nabla V, essa operação dá o laplaciano de V, denotado por \Delta V ou \nabla\cdot\nabla V:
\nabla\cdot\nabla V = \frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}}.
Vou calcular as segundas derivadas necessárias a partir das primeiras que já obtivemos.

Passo 6

Calculemos as segundas derivadas:
De \frac{\partial V}{\partial x}=6xy+z,
\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}(6xy+z) = 6y + 0 = 6y.
De \frac{\partial V}{\partial y}=3x^{2},
\frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}) = 0
pois 3x^{2} não depende de y.
De \frac{\partial V}{\partial z}=x,
\frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}} = \frac{\partial}{\partial z}(x) = 0
pois x não depende de z.
Somando as três componentes,
\nabla\cdot\nabla V = 6y + 0 + 0 = 6y.

Passo 7

Agora o rotacional do gradiente. Vamos lembrar a fórmula do rotacional para um campo vetorial F=(F_x,F_y,F_z):
\nabla\times F = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\; \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\; \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right).
No caso F=\nabla V, isto é \nabla\times(\nabla V). Há um resultado geral (que vou também verificar explicitamente): o rotacional do gradiente de qualquer função suficientemente suave é o vetor nulo. Vou calcular componente a componente para ficar claro.

Passo 8

Usando \nabla V=(6xy+z,\;3x^{2},\;x), calculemos cada componente do rotacional.
Primeira componente:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\underbrace{x}_{F_z}\bigr) - \frac{\partial}{\partial z}\bigl(\underbrace{3x^{2}}_{F_y}\bigr) = 0 - 0 = 0.
Segunda componente:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\underbrace{6xy+z}_{F_x}\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\underbrace{x}_{F_z}\bigr) = 1 - 1 = 0.
Terceira componente:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\underbrace{3x^{2}}_{F_y}\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\underbrace{6xy+z}_{F_x}\bigr) = 6x - 6x = 0.
Todas as componentes são zero, portanto
\nabla\times\nabla V = (0,0,0).

Resposta

\nabla V = \left(6xy + z,\; 3x^{2},\; x\right)
\nabla \cdot \nabla V = 6y
\nabla \times \nabla V = (0,0,0)

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