Calcule
e
se:
Passo 1
O enunciado pede para calcular três quantidades a partir da função escalar
:
As perguntas são:
- calcular
(o gradiente de ); - calcular
(a divergência do gradiente, que é o laplaciano de ); - calcular
(o rotacional do gradiente).
Informações relevantes dadas:é função das variáveis cartesianas ) e está explicitada acima. Não há outras condições ou restrições.
Passo 2
Vamos lembrar o que é o gradiente e como calculá-lo. O gradiente de uma função escalar
é o vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a cada coordenada. A definição é:
Aqui
significa “derivar
tratando
e
como constantes” e de modo análogo para as outras derivadas. Vou aplicar isso ao nosso
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
uma a uma.
Derivada parcial em relação a
:
- Para o termo
: é constante, então a derivada é . - Para o termo
: é constante, derivada é .
Somando,
Derivada parcial em relação a
:
- Para
: é constante, derivada é . - Para
: não depende de , derivada é .
Logo
Derivada parcial em relação a
:
-
não depende de , derivada . -
deriva para (pois é constante em relação a ).
Portanto
Passo 4
Agora juntamos as componentes para formar o gradiente:
Isso é um campo vetorial cujo primeiro componente é
, segundo é
e terceiro é
.
Passo 5
Vamos lembrar o que é a divergência do gradiente (o laplaciano). Para um campo vetorial
a divergência é
No caso
, essa operação dá o laplaciano de
, denotado por
ou
:
Vou calcular as segundas derivadas necessárias a partir das primeiras que já obtivemos.
Passo 6
Calculemos as segundas derivadas:
De
,
De
,
pois
não depende de
.
De
,
pois
não depende de
.
Somando as três componentes,
Passo 7
Agora o rotacional do gradiente. Vamos lembrar a fórmula do rotacional para um campo vetorial
:
No caso
, isto é
. Há um resultado geral (que vou também verificar explicitamente): o rotacional do gradiente de qualquer função suficientemente suave é o vetor nulo. Vou calcular componente a componente para ficar claro.
Passo 8
Usando
, calculemos cada componente do rotacional.
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Todas as componentes são zero, portanto