Calcule \nabla V, \nabla \cdot \nabla V e \nabla \times \nabla V se:
V=\rho z \cos \varphi

Passo 1

O enunciado pede três coisas: calcular \nabla V, \nabla\cdot\nabla V e \nabla\times\nabla V para a função escalar
V=\rho z \cos\varphi.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\rho, \varphi e z são as coordenadas cilíndricas usuais (ou seja, V está escrito em coordenadas cilíndricas). A função depende explicitamente de \rho, \varphi e z através do produto \rho z \cos\varphi.
Não há figura extra; todas as informações necessárias estão no enunciado acima.

Passo 2

Vou primeiro lembrar as fórmulas em coordenadas cilíndricas que vou usar — explico cada termo com calma para você entender e poder reproduzir na prova.
A definição do gradiente de uma função escalar f(\rho,\varphi,z) em coordenadas cilíndricas é
\nabla f = \hat{\mathbf{e}}_{\rho}\,\frac{\partial f}{\partial \rho} + \hat{\mathbf{e}}_{\varphi}\,\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi} + \hat{\mathbf{e}}_{z}\,\frac{\partial f}{\partial z}.
Aqui \hat{\mathbf{e}}_{\rho}, \hat{\mathbf{e}}_{\varphi} e \hat{\mathbf{e}}_{z} são os versores (vetores unitários) nas direções \rho, \varphi e z. O termo \frac{1}{\rho} surge porque a componente angular envolve distância radial ( \rho) — é importante lembrar disso: derivada angular tem peso 1/\rho.
A divergência de um campo vetorial \mathbf{A}=A_{\rho}\hat{\mathbf{e}}_{\rho}+A_{\varphi}\hat{\mathbf{e}}_{\varphi}+A_{z}\hat{\mathbf{e}}_{z} em cilíndricas é
\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\rho})+\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}.
Quando pedem \nabla\cdot\nabla V é justamente \nabla^2 V, o laplaciano escalar, que em cilíndricas vale
\nabla^{2}V=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho\frac{\partial V}{\partial \rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2}V}{\partial \varphi^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}.
Por fim, a fórmula do rotacional (curl) em cilíndricas para \mathbf{A} tem componentes
(\nabla\times\mathbf{A})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial z},
(\nabla\times\mathbf{A})_{\varphi}=\frac{\partial A_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial \rho},
(\nabla\times\mathbf{A})_{z}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\varphi})-\frac{\partial A_{\rho}}{\partial \varphi}\right).
Vou aplicar essas fórmulas com \mathbf{A}=\nabla V.

Passo 3

Calculo das derivadas parciais básicas de V=\rho z \cos\varphi. Isso é mecânico, faça como na prova: trate \rho, \varphi, z como variáveis independentes.
Derivada em relação a \rho:
\frac{\partial V}{\partial \rho}=z\cos\varphi,
porque \partial(\rho)/\partial\rho=1 e z\cos\varphi é fator constante em relação a \rho.
Derivada em relação a \varphi:
\frac{\partial V}{\partial \varphi}=\rho z \frac{d}{d\varphi}(\cos\varphi)=\rho z(-\sin\varphi)=-\rho z\sin\varphi.
Derivada em relação a z:
\frac{\partial V}{\partial z}=\rho\cos\varphi,
pois é linear em z.
Guarde essas três derivadas — são tudo o que precisamos para o gradiente, laplaciano e rotacional.

Passo 4

Agora monto o gradiente usando a fórmula de cilíndricas dada anteriormente. Substituo as derivadas encontradas:
\nabla V=\hat{\mathbf{e}}_{\rho}\,\frac{\partial V}{\partial \rho}+\hat{\mathbf{e}}_{\varphi}\,\frac{1}{\rho}\frac{\partial V}{\partial \varphi}+\hat{\mathbf{e}}_{z}\,\frac{\partial V}{\partial z}.
Substituindo os valores:
\nabla V=\hat{\mathbf{e}}_{\rho}(z\cos\varphi)+\hat{\mathbf{e}}_{\varphi}\frac{1}{\rho}(-\rho z\sin\varphi)+\hat{\mathbf{e}}_{z}(\rho\cos\varphi).
Simplificando o termo angular \frac{1}{\rho}(-\rho z\sin\varphi)=-z\sin\varphi, obtenho
\nabla V=\hat{\mathbf{e}}_{\rho}\,z\cos\varphi-\hat{\mathbf{e}}_{\varphi}\,z\sin\varphi+\hat{\mathbf{e}}_{z}\,\rho\cos\varphi.
Interpretação rápida: componente radial é proporcional a z\cos\varphi; componente azimutal é -z\sin\varphi; componente axial é \rho\cos\varphi. Anota isso bem — é o vetor que vamos usar adiante.

Passo 5

Calculo do laplaciano \nabla\cdot\nabla V=\nabla^{2}V. Vou usar a fórmula do laplaciano em cilíndricas:
\nabla^{2}V=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho\frac{\partial V}{\partial \rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2}V}{\partial \varphi^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}.
Já tenho \frac{\partial V}{\partial \rho}=z\cos\varphi. Então:
\rho\frac{\partial V}{\partial \rho}=\rho(z\cos\varphi)=\rho z\cos\varphi.
Derivando isso em relação a \rho:
\frac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho\frac{\partial V}{\partial \rho}\right)=\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho z\cos\varphi)=z\cos\varphi,
pois z\cos\varphi é constante em relação a \rho.
Portanto o primeiro termo do laplaciano é
\frac{1}{\rho}\big(z\cos\varphi\big)=\frac{z\cos\varphi}{\rho}.

Passo 6

Calculo do segundo termo do laplaciano: \frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2}V}{\partial \varphi^{2}}.
Tínhamos \frac{\partial V}{\partial \varphi}=-\rho z\sin\varphi. Derivando novamente em \varphi:
\frac{\partial^{2}V}{\partial \varphi^{2}}=\frac{\partial}{\partial \varphi}(-\rho z\sin\varphi)=-\rho z\cos\varphi.
Logo
\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2}V}{\partial \varphi^{2}}=\frac{1}{\rho^{2}}(-\rho z\cos\varphi)=-\frac{z\cos\varphi}{\rho}.

Passo 7

Calculo do terceiro termo do laplaciano: \frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}.
Tínhamos \frac{\partial V}{\partial z}=\rho\cos\varphi, que é independente de z. Portanto
\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}=0.
Somando os três termos do laplaciano:
\nabla^{2}V=\frac{z\cos\varphi}{\rho}-\frac{z\cos\varphi}{\rho}+0=0.
Assim \nabla\cdot\nabla V=0. Bom resultado — é um campo harmônico.

Passo 8

Agora verifico o rotacional do gradiente: \nabla\times\nabla V. Existe um resultado geral (que vale numa região simplesmente conexa) dizendo que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é \mathbf{0}. Vou demonstrar explicitamente usando as componentes em cilíndricas para ficar cristalino e para você saber fazer na prova.
Tomamos \mathbf{A}=\nabla V com componentes (já achadas)
A_{\rho}=z\cos\varphi,\qquad A_{\varphi}=-z\sin\varphi,\qquad A_{z}=\rho\cos\varphi.
As componentes do rotacional são (lembre as fórmulas do Passo 2):
Componente \rho:
(\nabla\times\mathbf{A})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{z}}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial z}.
Calcule:
\frac{\partial A_{z}}{\partial \varphi}=\frac{\partial}{\partial \varphi}(\rho\cos\varphi)=-\rho\sin\varphi,
portanto \frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{z}}{\partial \varphi}=-\sin\varphi.
E
\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(-z\sin\varphi)=-\sin\varphi.
Assim
(\nabla\times\mathbf{A})_{\rho}=-\sin\varphi-(-\sin\varphi)=0.

Passo 9

Componente \varphi:
(\nabla\times\mathbf{A})_{\varphi}=\frac{\partial A_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial \rho}.
Calcule:
\frac{\partial A_{\rho}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(z\cos\varphi)=\cos\varphi,
e
\frac{\partial A_{z}}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho\cos\varphi)=\cos\varphi.
Portanto
(\nabla\times\mathbf{A})_{\varphi}=\cos\varphi-\cos\varphi=0.

Passo 10

Componente z:
(\nabla\times\mathbf{A})_{z}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\varphi})-\frac{\partial A_{\rho}}{\partial \varphi}\right).
Calcule \rho A_{\varphi}=\rho(-z\sin\varphi)=-\rho z\sin\varphi. Então
\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_{\varphi})=\frac{\partial}{\partial \rho}(-\rho z\sin\varphi)=-z\sin\varphi,
e
\frac{\partial A_{\rho}}{\partial \varphi}=\frac{\partial}{\partial \varphi}(z\cos\varphi)=-z\sin\varphi.
Logo o parêntesis é -z\sin\varphi-(-z\sin\varphi)=0, e portanto
(\nabla\times\mathbf{A})_{z}=0.

Passo 11

Como todas as três componentes do rotacional são 0, concluímos que
\nabla\times\nabla V=\mathbf{0}.

Resposta

\displaystyle \nabla V=\hat{\mathbf{e}}_{\rho}\,z\cos\varphi-\hat{\mathbf{e}}_{\varphi}\,z\sin\varphi+\hat{\mathbf{e}}_{z}\,\rho\cos\varphi
\displaystyle \nabla\cdot\nabla V=0
\displaystyle \nabla\times\nabla V=\mathbf{0}

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