Calcule
e
se:
Passo 1
O enunciado pede três coisas: calcular
,
e
para a função escalar
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
,
e
são as coordenadas cilíndricas usuais (ou seja,
está escrito em coordenadas cilíndricas). A função depende explicitamente de
,
e
através do produto
.
Não há figura extra; todas as informações necessárias estão no enunciado acima.
Não há figura extra; todas as informações necessárias estão no enunciado acima.
Passo 2
Vou primeiro lembrar as fórmulas em coordenadas cilíndricas que vou usar — explico cada termo com calma para você entender e poder reproduzir na prova.
A definição do gradiente de uma função escalar
em coordenadas cilíndricas é
Aqui
,
e
são os versores (vetores unitários) nas direções
,
e
. O termo
surge porque a componente angular envolve distância radial (
) — é importante lembrar disso: derivada angular tem peso
.
A divergência de um campo vetorial
em cilíndricas é
Quando pedem
é justamente
, o laplaciano escalar, que em cilíndricas vale
Por fim, a fórmula do rotacional (curl) em cilíndricas para
tem componentes
Vou aplicar essas fórmulas com
.
Passo 3
Calculo das derivadas parciais básicas de
. Isso é mecânico, faça como na prova: trate
,
,
como variáveis independentes.
Derivada em relação a
:
porque
e
é fator constante em relação a
.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
pois é linear em
.
Guarde essas três derivadas — são tudo o que precisamos para o gradiente, laplaciano e rotacional.
Passo 4
Agora monto o gradiente usando a fórmula de cilíndricas dada anteriormente. Substituo as derivadas encontradas:
Substituindo os valores:
Simplificando o termo angular
, obtenho
Interpretação rápida: componente radial é proporcional a
; componente azimutal é
; componente axial é
. Anota isso bem — é o vetor que vamos usar adiante.
Passo 5
Calculo do laplaciano
. Vou usar a fórmula do laplaciano em cilíndricas:
Já tenho
. Então:
Derivando isso em relação a
:
pois
é constante em relação a
.
Portanto o primeiro termo do laplaciano é
Passo 6
Calculo do segundo termo do laplaciano:
.
Tínhamos . Derivando novamente em
:
Tínhamos
Logo
Passo 7
Calculo do terceiro termo do laplaciano:
.
Tínhamos , que é independente de
. Portanto
Tínhamos
Somando os três termos do laplaciano:
Assim
. Bom resultado — é um campo harmônico.
Passo 8
Agora verifico o rotacional do gradiente:
. Existe um resultado geral (que vale numa região simplesmente conexa) dizendo que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é
. Vou demonstrar explicitamente usando as componentes em cilíndricas para ficar cristalino e para você saber fazer na prova.
Tomamos
com componentes (já achadas)
As componentes do rotacional são (lembre as fórmulas do Passo 2):
Componente
:
Calcule:
portanto
.
E
E
Assim
Passo 9
Componente
:
Calcule:
e
Portanto
Passo 10
Componente
:
Calcule
. Então
e
Logo o parêntesis é
, e portanto
Passo 11
Como todas as três componentes do rotacional são
, concluímos que