Seja \vec{u}(t)=\frac{t^{2}}{\sqrt[3]{t}} \vec{i}+\sqrt{6} \vec{j}+t \cos \left(\frac{1}{t}\right) \vec{k}. Determine, se existir:
\lim _{t \rightarrow 0} \vec{u}(t) \text { e } \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\vec{u}(t)}{t}

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\vec{u}(t)=\frac{t^{2}}{\sqrt[3]{t}}\,\vec{i}+\sqrt{6}\,\vec{j}+t\cos\!\left(\frac{1}{t}\right)\,\vec{k}
e pede para determinar, se existirem,
\lim_{t\to 0}\vec{u}(t)\quad\text{e}\quad\lim_{t\to 0}\frac{\vec{u}(t)}{t}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função é vetorial; cada componente é uma função real de t.
  • A componente na direção \vec{i} é \dfrac{t^{2}}{\sqrt[3]{t}}.
  • A componente na direção \vec{j} é \sqrt{6} (constante).
  • A componente na direção \vec{k} é t\cos\!\big(\tfrac{1}{t}\big).
  • Pedimos os limites quando t\to 0.

Passo 2

Recordando uma propriedade fundamental (explicada de forma simples): o limite de uma função vetorial existe e é um vetor se, e somente se, os limites das componentes (cada coordenada) existirem e forem finitos. Ou seja, se
\vec{u}(t)=u_1(t)\,\vec{i}+u_2(t)\,\vec{j}+u_3(t)\,\vec{k},
então
\lim_{t\to 0}\vec{u}(t)=\lim_{t\to 0}u_1(t)\,\vec{i}+\lim_{t\to 0}u_2(t)\,\vec{j}+\lim_{t\to 0}u_3(t)\,\vec{k},
desde que cada \lim_{t\to 0}u_j(t) exista e seja finito. Vou aplicar isso componente a componente.

Passo 3

Primeiro simplifico a componente \vec{i}. Temos
\frac{t^{2}}{\sqrt[3]{t}}.
Lembre que \sqrt[3]{t}=t^{1/3} e que, ao dividir potências com mesma base, subtrai-se expoentes. Assim
\frac{t^{2}}{t^{1/3}}=t^{2-\tfrac{1}{3}}=t^{\tfrac{5}{3}}.
Logo a componente \vec{i} é t^{5/3}.

Passo 4

Vou calcular \lim_{t\to 0}\vec{u}(t) avaliando cada componente:
Componente \vec{i}: \;u_1(t)=t^{5/3}.
  • Para potências positivas t^{\alpha} com \alpha>0, vale \lim_{t\to 0}t^{\alpha}=0.
  • Mais formal: |t^{5/3}|=|t|^{5/3}\to 0 quando t\to 0.
  • Logo \lim_{t\to 0}t^{5/3}=0.
Componente \vec{j}: \;u_2(t)=\sqrt{6}.
  • É constante, então \lim_{t\to 0}\sqrt{6}=\sqrt{6}.
Componente \vec{k}: \;u_3(t)=t\cos\!\big(\tfrac{1}{t}\big).
  • Sabemos que |\cos(\cdot)|\le 1, então
|t\cos\!\big(\tfrac{1}{t}\big)|\le |t|.
  • Como \lim_{t\to 0}|t|=0, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) concluímos \lim_{t\to 0}t\cos\!\big(\tfrac{1}{t}\big)=0.
Portanto, juntando as componentes:
\lim_{t\to 0}\vec{u}(t)=0\cdot\vec{i}+\sqrt{6}\cdot\vec{j}+0\cdot\vec{k}=\sqrt{6}\,\vec{j}.

Passo 5

Agora calculo \dfrac{\vec{u}(t)}{t} componente a componente. Dividindo cada componente por t (para t\neq 0):
  • Componente \vec{i}: \dfrac{t^{5/3}}{t}=t^{5/3-1}=t^{2/3}.
  • Componente \vec{j}: \dfrac{\sqrt{6}}{t}.
  • Componente \vec{k}: \dfrac{t\cos\!\big(\tfrac{1}{t}\big)}{t}=\cos\!\big(\tfrac{1}{t}\big).
Logo
\frac{\vec{u}(t)}{t}=t^{2/3}\,\vec{i}+\frac{\sqrt{6}}{t}\,\vec{j}+\cos\!\big(\tfrac{1}{t}\big)\,\vec{k}.

Passo 6

Analiso os limites das componentes de \dfrac{\vec{u}(t)}{t} quando t\to 0:
Componente \vec{i}: \;t^{2/3}.
  • Novamente é uma potência com expoente positivo, então \lim_{t\to 0}t^{2/3}=0.
Componente \vec{j}: \;\dfrac{\sqrt{6}}{t}.
  • Esta expressão tem comportamento distinto dependendo do lado:
    • Se t\to 0^{+}, então \dfrac{\sqrt{6}}{t}\to +\infty.
    • Se t\to 0^{-}, então \dfrac{\sqrt{6}}{t}\to -\infty.
  • Em particular não existe um limite finito quando t\to 0. Como o limite lateral direito e esquerdo são infinitos e com sinais opostos, não há limite finito nem mesmo um limite infinito único. Portanto a componente \vec{j} não tem limite finito quando t\to 0.
Componente \vec{k}: \;\cos\!\big(\tfrac{1}{t}\big).
  • Esta função não tem limite quando t\to 0 porque oscila entre -1 e 1 infinitamente rápido. Posso mostrar com duas sequências:
    • Tome t_n=\dfrac{1}{2\pi n}. Então \cos\!\big(\tfrac{1}{t_n}\big)=\cos(2\pi n)=1 para todo n, logo a subsequência tende a 1.
    • Tome s_n=\dfrac{1}{(2n+1)\pi}. Então \cos\!\big(\tfrac{1}{s_n}\big)=\cos((2n+1)\pi)=-1 para todo n, logo essa subsequência tende a -1.
  • Como duas subsequências dando limites diferentes existem, \lim_{t\to 0}\cos\!\big(\tfrac{1}{t}\big) não existe.

Passo 7

Conclusão sobre \lim_{t\to 0}\dfrac{\vec{u}(t)}{t}: como pelo menos uma componente ( \vec{j}) não tem limite finito e outra ( \vec{k}) sequer tem limite, o limite vetorial \lim_{t\to 0}\dfrac{\vec{u}(t)}{t} não existe. Lembre que para o limite vetorial existir todas as três componentes precisam ter limites finitos.

Resposta

\lim_{t\to 0}\vec{u}(t)=\sqrt{6}\,\vec{j}
\lim_{t\to 0}\dfrac{\vec{u}(t)}{t} não existe

Exercícios relacionados