Seja
. Determine, se existir:
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede para determinar, se existirem,
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função é vetorial; cada componente é uma função real de
. - A componente na direção
é . - A componente na direção
é (constante). - A componente na direção
é . - Pedimos os limites quando
.
Passo 2
Recordando uma propriedade fundamental (explicada de forma simples): o limite de uma função vetorial existe e é um vetor se, e somente se, os limites das componentes (cada coordenada) existirem e forem finitos. Ou seja, se
então
desde que cada
exista e seja finito. Vou aplicar isso componente a componente.
Passo 3
Primeiro simplifico a componente
. Temos
Lembre que
e que, ao dividir potências com mesma base, subtrai-se expoentes. Assim
Logo a componente
é
.
Passo 4
Vou calcular
avaliando cada componente:
Componente
:
- Para potências positivas
com , vale . - Mais formal:
quando . - Logo
.
Componente
:
- É constante, então
Componente
:
- Sabemos que
, então
- Como
, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) concluímos .
Portanto, juntando as componentes:
Passo 5
Agora calculo
componente a componente. Dividindo cada componente por
(para
):
- Componente
: - Componente
: - Componente
:
Logo
Passo 6
Analiso os limites das componentes de
quando
:
Componente
:
- Novamente é uma potência com expoente positivo, então
Componente
:
- Esta expressão tem comportamento distinto dependendo do lado:
- Se
, então . - Se
, então .
- Se
- Em particular não existe um limite finito quando
. Como o limite lateral direito e esquerdo são infinitos e com sinais opostos, não há limite finito nem mesmo um limite infinito único. Portanto a componente não tem limite finito quando .
Componente
:
- Esta função não tem limite quando
porque oscila entre e infinitamente rápido. Posso mostrar com duas sequências: - Tome
. Então para todo , logo a subsequência tende a . - Tome
. Então para todo , logo essa subsequência tende a .
- Tome
- Como duas subsequências dando limites diferentes existem,
não existe.
Passo 7
Conclusão sobre
: como pelo menos uma componente (
) não tem limite finito e outra (
) sequer tem limite, o limite vetorial
não existe. Lembre que para o limite vetorial existir todas as três componentes precisam ter limites finitos.