Seja \vec{F}: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma função três vezes derivável em I.
a) \left(\vec{F}^{\prime} \times \vec{F}\right)^{\prime}=\vec{F}^{\prime \prime} \times \vec{F}
b) \left(\vec{F}^{\prime} \times \vec{F}\right)^{\prime \prime}=\vec{F}^{\prime \prime \prime} \times \vec{F}
c) (\vec{F} \cdot \vec{F})^{\prime \prime}=2\left(\vec{F} \cdot \vec{F}^{\prime \prime}+\left|\vec{F}^{\prime}\right|^{2}\right)
d) Se U(t)=|\vec{F}(t)|, então \vec{F}(t) \cdot \vec{F}^{\prime}(t)=U(t) U^{\prime}(t).
Passo 1
O enunciado dá uma função vetor \vec{F}:I\to\mathbb{R}^3 que é três vezes derivável em I. Pergunta-se Verdadeiro (V) ou Falso (F) para cada uma das afirmações abaixo, justificando cada resposta:
a) \left(\vec{F}^{\prime} \times \vec{F}\right)^{\prime}=\vec{F}^{\prime \prime} \times \vec{F}.
b) \left(\vec{F}^{\prime} \times \vec{F}\right)^{\prime \prime}=\vec{F}^{\prime \prime \prime} \times \vec{F}.
c) (\vec{F} \cdot \vec{F})^{\prime \prime}=2\left(\vec{F} \cdot \vec{F}^{\prime \prime}+\left|\vec{F}^{\prime}\right|^{2}\right).
d) Se U(t)=|\vec{F}(t)|, então \vec{F}(t)\cdot\vec{F}^{\prime}(t)=U(t)\,U^{\prime}(t).
Todas as informações relevantes estão acima: \vec{F} é suficientemente suave (até terceira derivada existe), e precisamos verificar cada identidade e justificar.
Passo 2
Lembrete de ferramentas essenciais (regras que vou usar). Vou explicar bem devagar e com calma:
Regra do produto para o produto vetorial (cross): se \vec{A}(t) e \vec{B}(t) são diferenciáveis, então
Norma e derivada. Para U(t)=|\vec{F}(t)|=\sqrt{\vec{F}(t)\cdot\vec{F}(t)}, quando U é diferenciável (em particular quando \vec{F}(t)\neq\vec{0}), aplica-se a regra da cadeia:
Multiplicando por U(t)=|\vec{F}(t)| obtemos U(t)U'(t)=\vec{F}(t)\cdot\vec{F}'(t) sempre que U for diferenciável (veja discussão posterior sobre o caso \vec{F}(t)=\vec{0}).
Agora uso essas regras para cada item.
Passo 3
Avalio \left(\vec{F}^{\prime}\times\vec{F}\right)'. Usando a regra do produto para o cross com \vec{A}=\vec{F}' e \vec{B}=\vec{F}:
Portanto a igualdade da parte (a) é verdadeira para todo t em que \vec{F} é diferenciável (aqui temos derivadas necessárias, e elas existem por hipótese). Intuitivamente: o segundo termo da regra do produto some porque é o cross de um vetor por ele mesmo.
Passo 4
Queremos comparar \left(\vec{F}'\times\vec{F}\right)'' com \vec{F}'''\times\vec{F}. A forma mais direta é derivar o resultado do item (a) mais uma vez: de (a) temos \left(\vec{F}'\times\vec{F}\right)'=\vec{F}''\times\vec{F}. Diferenciando novamente e aplicando a regra do produto para o cross obtemos um termo adicional; preciso mostrar se esse termo adicional é sempre zero ou não.
Passo 5
Diferenciando \vec{F}''\times\vec{F} usando a regra do produto para o cross:
Compare com a expressão que a parte (b) afirma: \vec{F}'''\times\vec{F}. São iguais somente se \vec{F}''\times\vec{F}'=\vec{0}, i.e., somente se \vec{F}'' e \vec{F}' forem sempre colineares. Em geral isso não ocorre, logo a identidade da parte (b) não vale em geral.
Passo 6
Vou dar um contraexemplo simples para tornar a falha clara. Considere
enquanto \vec{F}'''\times\vec{F}=(0,0,0). Logo as duas expressões são diferentes: a igualdade da parte (b) falha para este \vec{F}. Concluímos que (b) é falsa em geral.
Passo 7
Queremos calcular (\vec{F}\cdot\vec{F})''. Uma estratégia limpa: primeiro derivar uma vez e depois de novo, usando a regra do produto escalar. Vou fazer passo a passo e comentar cada uso de regra.
Passo 8
Primeiro calcule a primeira derivada usando a regra do produto escalar:
No passo acima usei a regra do produto escalar: (\vec{F}\cdot\vec{G})'=\vec{F}'\cdot\vec{G}+\vec{F}\cdot\vec{G}' com \vec{G}=\vec{F}'. Repare que \vec{F}'\cdot\vec{F}'=|\vec{F}'|^{2}. Assim a expressão fica
que é exatamente a fórmula pedida. Portanto (c) é verdadeira.
Passo 9
Essa identidade é útil na prova de várias coisas (por exemplo, relacionar curvatura e torsão em curvas etc.). A ideia central é que derivar o escalar \vec{F}\cdot\vec{F} dá 2\vec{F}\cdot\vec{F}' e derivar de novo produz os dois termos: o termo com \vec{F}\cdot\vec{F}'' e o termo com |\vec{F}'|^{2}.
Passo 10
Começo lembrando que U(t)=|\vec{F}(t)|=\sqrt{\vec{F}(t)\cdot\vec{F}(t)}. Quando U é diferenciável em t (em particular quando \vec{F}(t)\neq\vec{0}), aplico a regra da cadeia à função g(x)=\sqrt{x} composta com x(t)=\vec{F}(t)\cdot\vec{F}(t). Então
Multiplicando por U(t)=|\vec{F}(t)| obtemos, sempre que U for diferenciável (equivalente a \vec{F}(t)\neq\vec{0} ou casos especiais abaixo),
U(t)\,U'(t)=\vec{F}(t)\cdot\vec{F}'(t).
Assim a identidade apresentada em (d) é verdadeira nos pontos onde U é diferenciável (por exemplo em todo t tais que \vec{F}(t)\neq\vec{0}).
Passo 11
Preciso discutir a situação quando \vec{F}(t)=\vec{0} num certo instante t. Neste ponto U(t)=0. Duas sub-situações:
Se \vec{F}(t)=\vec{0} e \vec{F}'(t)=\vec{0}, então \vec{F}(t)\cdot\vec{F}'(t)=0. Se além disso U for diferenciável em t, teremos U'(t)=0 e a identidade U U'=\vec{F}\cdot\vec{F}' vale (ambos iguais a zero).
Se \vec{F}(t)=\vec{0} mas \vec{F}'(t)\neq\vec{0}, então frequentemente U(t)=|\vec{F}(t)| tem canto e não é diferenciável em t. Um exemplo clássico: \vec{F}(t)=(t,0,0). Em t=0 temos \vec{F}(0)=\vec{0}, U(t)=|t| e U'(0) não existe (não existe derivada de |t| em 0), enquanto \vec{F}(0)\cdot\vec{F}'(0)=0. A igualdade proposta exige a existência de U'(t), portanto nesse tipo de ponto a afirmação, entendida sem restrições, é problemática: diz-se que U U'= \vec{F}\cdot\vec{F}' só faz sentido quando U' existe.
Passo 12
Resumo claro: a fórmula
\vec{F}(t)\cdot\vec{F}'(t)=U(t)\,U'(t)
é verdadeira sempre que U é diferenciável em t (em particular sempre que \vec{F}(t)\neq\vec{0}). Se U não é diferenciável num ponto (possível quando \vec{F}(t)=\vec{0} e \vec{F}'(t)\neq\vec{0}), a igualdade não se aplica porque U'(t) não existe. Então a afirmação, escrita sem hipóteses adicionais, normalmente é aceita como verdadeira com a ressalva de que precisamos da diferenciabilidade de U (ou \vec{F}(t)\neq\vec{0}).