Calcule \nabla \varphi sabendo que \varphi=\ln \|\vec{r}\| e \vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \nabla \varphi sabendo que \varphi=\ln \|\vec{r}\| e \vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}.
Informações dadas:
  • A função escalar é \varphi(\,x,y,z\,)=\ln\|\vec r\|.
  • O vetor posição é \vec r = x\vec i + y\vec j + z\vec k.
  • A norma do vetor posição é \|\vec r\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
    O que se pede:
  • Calcular o vetor gradiente \nabla\varphi em termos de x,y,z.

Passo 2

Lembretes e ideia prática: o gradiente em coordenadas cartesianas é
\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x},\;\frac{\partial}{\partial y},\;\frac{\partial}{\partial z}\right).
Para facilitar as derivadas, é útil reescrever \varphi sem raiz. Observa-se que
\varphi=\ln\|\vec r\|=\ln\!\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\big)=\tfrac{1}{2}\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big).
Esta forma evita derivar a raiz diretamente e deixa a conta mais limpa.

Passo 3

Aplicando a definição do gradiente, calculamos as derivadas parciais de \varphi. Use a regra da cadeia: se \varphi=\tfrac{1}{2}\ln(u) com u=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2x. Substituindo,
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\cdot 2x=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 4

Fazendo o mesmo para as outras componentes (mesma ideia, só trocando a variável):
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Expliquei: cada derivada parcial usa a regra da cadeia com u=x^{2}+y^{2}+z^{2} e \partial u/\partial y=2y, \partial u/\partial z=2z.

Passo 5

Juntando as componentes como vetor, obtemos o gradiente:
\nabla \varphi=\frac{x\vec i + y\vec j + z\vec k}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Reconhecendo o numerador como \vec r e o denominador como \|\vec r\|^{2}, uma forma compacta é
\nabla\varphi=\frac{\vec r}{\|\vec r\|^{2}}.
Observação importante: essa expressão vale para \vec r\neq\vec 0 (ou seja, x^{2}+y^{2}+z^{2}\neq 0), porque em \vec r=\vec 0 a função \varphi=\ln\|\vec r\| não está definida.

Resposta

\displaystyle \nabla\varphi=\frac{\vec r}{\|\vec r\|^{2}}=\frac{x\vec i+y\vec j+z\vec k}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

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