Calcule
sabendo que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
sabendo que
e
.
Informações dadas:
- A função escalar é
. - O vetor posição é
. - A norma do vetor posição é
.
O que se pede: - Calcular o vetor gradiente
em termos de .
Passo 2
Lembretes e ideia prática: o gradiente em coordenadas cartesianas é
Para facilitar as derivadas, é útil reescrever
sem raiz. Observa-se que
Esta forma evita derivar a raiz diretamente e deixa a conta mais limpa.
Passo 3
Aplicando a definição do gradiente, calculamos as derivadas parciais de
. Use a regra da cadeia: se
com
, então
Aqui
. Substituindo,
Passo 4
Fazendo o mesmo para as outras componentes (mesma ideia, só trocando a variável):
Expliquei: cada derivada parcial usa a regra da cadeia com
e
,
.
Passo 5
Juntando as componentes como vetor, obtemos o gradiente:
Reconhecendo o numerador como
e o denominador como
, uma forma compacta é
Observação importante: essa expressão vale para
(ou seja,
), porque em
a função
não está definida.