\hline 3) & Se
, determine
. \
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
A tarefa é determinar
(o rotor do rotor de
).
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- As variáveis independentes são
. - Os componentes escalares do campo são:
-
, -
, -
.
-
- Pede-se o vetor
.
Passo 2
Vou usar uma identidade vetorial que facilita muito o cálculo. Primeiro explico as operações que aparecem:
-
(ou ) é o rotor (curl) de ; dá um vetor cujas componentes envolvem derivadas parciais cruzadas. -
(ou ) é a divergência de ; é a soma das derivadas parciais dos componentes com respeito às suas variáveis. -
é o operador gradiente; aplicado a um escalar produz o vetor cujas componentes são . -
é o laplaciano escalar; aplicado a um escalar dá . Para um campo vetorial, a “laplaciano vetorial” é aplicado componente a componente.
A identidade vetorial útil (que pode ser lembrada ou demonstrada) é
Justificativa prática: calcular diretamente
exige duas aplicações do operador
, com muitas derivadas cruzadas. A identidade acima transforma o problema em calcular
, depois
, e a laplaciano de cada componente — geralmente mais simples e organizado. Por isso escolho esse método.
Passo 3
Calcular a divergência
. Por definição,
Agora as derivadas parciais:
-
(tratando como constante). -
(pois não depende de ). -
.
Somando:
Passo 4
Calcular o gradiente da divergência,
. A função escalar é
. Por definição,
Derivadas parciais:
-
(derivando em ). -
. -
(não há em ).
Logo
Passo 5
Calcular
componente a componente. Por definição,
onde
, e análogas para os outros.
Calcule cada um:
-
Para
: -
. -
(linear em ). -
.
Então.
-
-
Para
: -
(linear em ). -
. -
(linear em ).
Então.
-
-
Para
: -
. -
(linear em ). -
(linear em ).
Então.
-
Portanto
Passo 6
Aplicar a identidade e subtrair componente a componente:
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Cancelando termos: