\hline 3) & Se \vec{F}=x^{2} y \vec{i}+2 x z \vec{j}-2 y z \vec{k}, determine \operatorname{rot}(\operatorname{rot} \vec{F}). \

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}=x^{2}y\,\vec{i}+2xz\,\vec{j}-2yz\,\vec{k}.
A tarefa é determinar \operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{F}) (o rotor do rotor de \vec{F}).
Informações relevantes do enunciado:
  • As variáveis independentes são x,y,z.
  • Os componentes escalares do campo são:
    • F_x=x^{2}y,
    • F_y=2xz,
    • F_z=-2yz.
  • Pede-se o vetor \operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{F}).

Passo 2

Vou usar uma identidade vetorial que facilita muito o cálculo. Primeiro explico as operações que aparecem:
  • \operatorname{rot}\vec{G} (ou \nabla\times\vec{G}) é o rotor (curl) de \vec{G}; dá um vetor cujas componentes envolvem derivadas parciais cruzadas.
  • \operatorname{div}\vec{G} (ou \nabla\cdot\vec{G}) é a divergência de \vec{G}; é a soma das derivadas parciais dos componentes com respeito às suas variáveis.
  • \nabla é o operador gradiente; aplicado a um escalar h produz o vetor \nabla h cujas componentes são \partial h/\partial x,\partial h/\partial y,\partial h/\partial z.
  • \nabla^{2} é o laplaciano escalar; aplicado a um escalar h \nabla^{2}h=\dfrac{\partial^{2}h}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}h}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}h}{\partial z^{2}}. Para um campo vetorial, a “laplaciano vetorial” \nabla^{2}\vec{F} é aplicado componente a componente.
A identidade vetorial útil (que pode ser lembrada ou demonstrada) é
\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{F})=\nabla(\nabla\cdot\vec{F})-\nabla^{2}\vec{F}.
Justificativa prática: calcular diretamente \operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{F}) exige duas aplicações do operador \nabla\times, com muitas derivadas cruzadas. A identidade acima transforma o problema em calcular \nabla\cdot\vec{F}, depois \nabla(\cdot), e a laplaciano de cada componente — geralmente mais simples e organizado. Por isso escolho esse método.

Passo 3

Calcular a divergência \nabla\cdot\vec{F}. Por definição,
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Agora as derivadas parciais:
  • \dfrac{\partial F_x}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2xy (tratando y como constante).
  • \dfrac{\partial F_y}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(2xz)=0 (pois 2xz não depende de y).
  • \dfrac{\partial F_z}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(-2yz)=-2y.
Somando:
\nabla\cdot\vec{F}=2xy+0-2y=2y(x-1).

Passo 4

Calcular o gradiente da divergência, \nabla(\nabla\cdot\vec{F}). A função escalar é g(x,y,z)=2y(x-1). Por definição,
\nabla g=\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial g}{\partial z}\right)\vec{k}.
Derivadas parciais:
  • \dfrac{\partial g}{\partial x}=2y (derivando 2y(x-1) em x).
  • \dfrac{\partial g}{\partial y}=2(x-1).
  • \dfrac{\partial g}{\partial z}=0 (não há z em g).
Logo
\nabla(\nabla\cdot\vec{F})=2y\,\vec{i}+2(x-1)\,\vec{j}+0\,\vec{k}.

Passo 5

Calcular \nabla^{2}\vec{F} componente a componente. Por definição,
\nabla^{2}\vec{F}=\big(\nabla^{2}F_x\big)\vec{i}+\big(\nabla^{2}F_y\big)\vec{j}+\big(\nabla^{2}F_z\big)\vec{k},
onde \nabla^{2}F_x=\dfrac{\partial^{2}F_x}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}F_x}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}F_x}{\partial z^{2}}, e análogas para os outros.
Calcule cada um:
  • Para F_x=x^{2}y:
    • \dfrac{\partial^{2}F_x}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y.
    • \dfrac{\partial^{2}F_x}{\partial y^{2}}=0 (linear em y).
    • \dfrac{\partial^{2}F_x}{\partial z^{2}}=0.
      Então \nabla^{2}F_x=2y.
  • Para F_y=2xz:
    • \dfrac{\partial^{2}F_y}{\partial x^{2}}=0 (linear em x).
    • \dfrac{\partial^{2}F_y}{\partial y^{2}}=0.
    • \dfrac{\partial^{2}F_y}{\partial z^{2}}=0 (linear em z).
      Então \nabla^{2}F_y=0.
  • Para F_z=-2yz:
    • \dfrac{\partial^{2}F_z}{\partial x^{2}}=0.
    • \dfrac{\partial^{2}F_z}{\partial y^{2}}=0 (linear em y).
    • \dfrac{\partial^{2}F_z}{\partial z^{2}}=0 (linear em z).
      Então \nabla^{2}F_z=0.
Portanto
\nabla^{2}\vec{F}=2y\,\vec{i}+0\,\vec{j}+0\,\vec{k}=2y\,\vec{i}.

Passo 6

Aplicar a identidade e subtrair componente a componente:
\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{F})=\nabla(\nabla\cdot\vec{F})-\nabla^{2}\vec{F}.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{F})=\big(2y\,\vec{i}+2(x-1)\,\vec{j}+0\,\vec{k}\big)-\big(2y\,\vec{i}+0\,\vec{j}+0\,\vec{k}\big).
Cancelando termos:
\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{F})=0\,\vec{i}+2(x-1)\,\vec{j}+0\,\vec{k}=2(x-1)\,\vec{j}.

Resposta

2(x-1)\,\vec{j}

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