Calcule:
\nint_{0}^{2} 2 x^{2} \sqrt{x^{3}+1} d x \quad

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} 2 x^{2} \sqrt{x^{3}+1}\, dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }2 x^{2} \sqrt{x^{3}+1}, \qquad \text{intervalo: }x\in[0,2].
O que se pede: o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Observação para escolher o método: dentro da raiz aparece \,x^{3}+1, e a derivada de x^{3}+1 é 3x^{2}, que é muito parecida com o fator x^{2} que já está multiplicando. Isso indica que a substituição de variável (substituição do tipo u=g(x)) é conveniente. Vou definir a substituição:
u = x^{3}+1.
Agora calculemos du. Diferenciando ambos os lados em relação a x temos
du = 3x^{2}\,dx.
Dessa igualdade isolamos x^{2}\,dx, porque aparece no integrando:
x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Como é uma integral definida, atualizamos também os limites em termos de u. Calcule:
\text{quando }x=0,\; u=0^{3}+1=1, \qquad \text{quando }x=2,\; u=2^{3}+1=8+1=9.
Substituindo u e x^{2}\,dx na integral original obtemos
\int_{0}^{2} 2 x^{2} \sqrt{x^{3}+1}\, dx = \int_{u=1}^{u=9} 2 \sqrt{u}\,\cdot\frac{du}{3}.
Simplificando o fator constante:
\int_{1}^{9} \frac{2}{3}\, u^{1/2}\, du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
Multiplicando pelo fator constante \tfrac{2}{3} que está fora da integral, o antiderivado da nossa integranda é
\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{4}{9}\,u^{3/2}.

Passo 5

Agora avaliamos esse antiderivado entre os limites u=1 e u=9:
\left.\frac{4}{9}\,u^{3/2}\right|_{1}^{9} = \frac{4}{9}\bigl(9^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Calculemos 9^{3/2}. Lembre que a^{3/2}=(\sqrt{a})^{3}. Então
9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27, \qquad 1^{3/2}=1.
Portanto
\frac{4}{9}(27-1)=\frac{4}{9}\cdot 26 = \frac{104}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{104}{9}

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