Determine a solução geral das equações:
\quad y^{\prime \prime}-x f(x) y^{\prime}+f(x) y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
y'' - x f(x)\,y' + f(x)\,y = 0.
Informações dadas importantes:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de x.
  • f(x) é uma função qualquer de x (não é fornecida explicitamente).
  • Precisamos expressar a solução geral em termos de f(x) (ou de integrais envolvendo f), isto é, encontrar duas soluções linearmente independentes e escrever a combinação linear delas.

Passo 2

Procurar uma solução “óbvia” por tentativa: testar y=x.
Calculemos:
y = x,\qquad y' = 1,\qquad y'' = 0.
Substituindo na equação:
0 - x f(x)\cdot 1 + f(x)\cdot x = 0.
Portanto y=x satisfaz a equação. Conclusão: uma solução conhecida é \,y_1(x)=x.

Passo 3

Como já temos uma solução \,y_1(x)=x, usamos o método de redução de ordem para obter a segunda solução. A ideia é procurar uma solução da forma
y(x)=v(x)\,x,
onde v(x) é uma função a determinar. Vou derivar passo a passo as derivadas necessárias:
y' = v' x + v,
y'' = v'' x + 2v'.

Passo 4

Substituímos y,y',y'' na equação original:
(v'' x + 2v') - x f(x)(v' x + v) + f(x)(v x) = 0.
Agora expandimos e simplificamos termo a termo:
v'' x + 2v' - x^2 f(x)\,v' - x f(x)\,v + x f(x)\,v = 0.
Observe que os termos - x f(x)\,v e + x f(x)\,v se cancelam, sobrando
v'' x + 2v' - x^2 f(x)\,v' = 0.
Agrupando os termos em v' e v'':
x v'' + (2 - x^2 f(x))\,v' = 0.

Passo 5

Definimos w(x)=v'(x). Assim w' = v'' e obtemos uma equação de primeira ordem para w:
x w' + (2 - x^2 f(x))\,w = 0.
Colocando em forma padrão:
w' + \frac{2 - x^2 f(x)}{x}\,w = 0.
Esta é uma equação linear homogênea de primeira ordem; podemos resolvê‑la por separação (ou fator integrante). Escrevendo como taxa relativa:
\frac{w'}{w} = -\frac{2}{x} + x f(x).
Integramos ambos os lados:
\ln|w| = \int\!\big(-\tfrac{2}{x} + x f(x)\big)\,dx + C.
Fazendo as integrais separadas:
\int -\tfrac{2}{x}\,dx = -2\ln|x|,\qquad \int x f(x)\,dx \text{ é deixado como } \int x f(x)\,dx.é
Logo
\ln|w| = -2\ln|x| + \int x f(x)\,dx + C,
portanto
w(x) = v'(x) = C_1\, x^{-2}\,\exp\!\Big(\int x f(x)\,dx\Big),
onde C_1 é constante arbitrária (absorvendo e^C).

Passo 6

Agora integramos para obter v(x):
v(x) = \int v'(x)\,dx = C_1 \int x^{-2}\,\exp\!\Big(\int x f(x)\,dx\Big)\,dx + C_2,
onde C_2 é outra constante arbitrária. Lembrando que y(x)=v(x)\,x, obtemos a solução geral:
y(x) = x\left(C_1 \int x^{-2}\,\exp\!\Big(\int x f(x)\,dx\Big)\,dx + C_2\right).
Podemos reescrever agrupando constantes:
y(x) = C_2\,x + C_1\,x\int x^{-2}\,\exp\!\Big(\int x f(x)\,dx\Big)\,dx.

Resposta

y(x)=C_1\,x + C_2\,x\int x^{-2}\,\exp\!\Big(\int x f(x)\,dx\Big)\,dx

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