Determine a solução geral das equações:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
Informações dadas importantes:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de
. -
é uma função qualquer de (não é fornecida explicitamente). - Precisamos expressar a solução geral em termos de
(ou de integrais envolvendo ), isto é, encontrar duas soluções linearmente independentes e escrever a combinação linear delas.
Passo 2
Procurar uma solução “óbvia” por tentativa: testar
.
Calculemos:
Calculemos:
Substituindo na equação:
Portanto
satisfaz a equação. Conclusão: uma solução conhecida é
.
Passo 3
Como já temos uma solução
, usamos o método de redução de ordem para obter a segunda solução. A ideia é procurar uma solução da forma
onde
é uma função a determinar. Vou derivar passo a passo as derivadas necessárias:
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Agora expandimos e simplificamos termo a termo:
Observe que os termos
e
se cancelam, sobrando
Agrupando os termos em
e
:
Passo 5
Definimos
. Assim
e obtemos uma equação de primeira ordem para
:
Colocando em forma padrão:
Esta é uma equação linear homogênea de primeira ordem; podemos resolvê‑la por separação (ou fator integrante). Escrevendo como taxa relativa:
Integramos ambos os lados:
Fazendo as integrais separadas:
Logo
portanto
onde
é constante arbitrária (absorvendo
).
Passo 6
Agora integramos para obter
:
onde
é outra constante arbitrária. Lembrando que
, obtemos a solução geral:
Podemos reescrever agrupando constantes: