Calcule:
\nint_{2}^{5} x^{2} \sqrt{x-4} d x

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int_{2}^{5} x^{2}\sqrt{x-4}\,dx
e pede que a calculemos. Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é x^{2}\sqrt{x-4}.
  • Os limites de integração são 2 (inferior) e 5 (superior).
  • Observação importante: a função \sqrt{x-4} só é real para x\ge 4. Portanto, sobre o intervalo [2,5] a expressão só está definida (no conjunto dos reais) a partir de x=4. Isso significa que, no contexto de integrais reais, devemos interpretar a integral como uma integral imprópria, tomando o limite por x vindo pela direita de 4.

Passo 2

Formalizamos a observação anterior escrevendo a integral como um limite impróprio:
\int_{2}^{5} x^{2}\sqrt{x-4}\,dx = \lim_{a\to 4^{+}} \int_{a}^{5} x^{2}\sqrt{x-4}\,dx.
Aqui definimos a com 2\le a<4 e, no limite a\to4^{+}, o intervalo [a,5] aproxima-se de [4,5]. O que vamos calcular, na prática, é o valor da integral sobre [4,5] tomando o limite pela direita em 4; como a função é integrável em qualquer intervalo [a,5] com a>4, esse procedimento é legítimo.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int_{a}^{5} x^{2}\sqrt{x-4}\,dx (e depois fazer a\to4^{+}) fazemos a substituição simples
u = x-4.
Explicando a ideia: a raiz aparece como \sqrt{x-4}, então escolher u=x-4 “remove” a expressão dentro da raiz e costuma simplificar a integral. Calculamos o diferencial:
du = dx.
Também mudamos os limites: quando x=a temos u=a-4; quando x=5 temos u=1. No limite que faremos, a\to4^{+} implica u\to0^{+}. Assim
\lim_{a\to 4^{+}} \int_{a}^{5} x^{2}\sqrt{x-4}\,dx = \lim_{u_{0}\to 0^{+}} \int_{u_{0}}^{1} (u+4)^{2}\sqrt{u}\,du,
onde u_{0}=a-4.

Passo 4

Agora vamos manipular o integrando. Primeiro expandimos (u+4)^{2} e multiplicamos por \sqrt{u}=u^{1/2}:
(u+4)^{2} = u^{2} + 8u + 16.
Multiplicando por u^{1/2} obtemos
(u+4)^{2}u^{1/2} = u^{2}u^{1/2} + 8u\cdot u^{1/2} + 16 u^{1/2} = u^{5/2} + 8u^{3/2} + 16u^{1/2}.
Portanto a integral fica
\int_{u_{0}}^{1} (u+4)^{2}\sqrt{u}\,du = \int_{u_{0}}^{1} \bigl(u^{5/2} + 8u^{3/2} + 16u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 5

Vamos integrar termo a termo usando a regra de potência para integrais: para qualquer p\neq -1,
\int u^{p}\,du = \frac{u^{p+1}}{p+1} + C.
Aplicando essa regra a cada termo:
  • Para u^{5/2}: o expoente p=5/2, então
\int u^{5/2}\,du = \frac{u^{7/2}}{7/2} = \frac{2}{7}u^{7/2}.
  • Para 8u^{3/2}: fatoramos o 8 e aplicamos a regra com p=3/2:
\int 8u^{3/2}\,du = 8\cdot\frac{u^{5/2}}{5/2} = 8\cdot\frac{2}{5}u^{5/2} = \frac{16}{5}u^{5/2}.
  • Para 16u^{1/2}: com p=1/2,
\int 16u^{1/2}\,du = 16\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} = 16\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = \frac{32}{3}u^{3/2}.
Somando as primitivas, uma antiderivada é
F(u) = \frac{2}{7}u^{7/2} + \frac{16}{5}u^{5/2} + \frac{32}{3}u^{3/2}.

Passo 6

Agora avaliamos a integral definida como u_{0}\to0^{+}:
\lim_{u_{0}\to0^{+}} \int_{u_{0}}^{1} \bigl(u^{5/2} + 8u^{3/2} + 16u^{1/2}\bigr)\,du = \lim_{u_{0}\to0^{+}} \bigl[F(1)-F(u_{0})\bigr].
Calculamos F(1) e F(u_{0}):
F(1) = \frac{2}{7}\cdot 1^{7/2} + \frac{16}{5}\cdot 1^{5/2} + \frac{32}{3}\cdot 1^{3/2} = \frac{2}{7} + \frac{16}{5} + \frac{32}{3}.
Como u_{0}\to0^{+}, os termos u_{0}^{3/2},u_{0}^{5/2},u_{0}^{7/2} tendem a 0, logo F(u_{0})\to 0. Portanto o valor da integral é exatamente F(1).

Passo 7

Vamos somar as frações
\frac{2}{7} + \frac{16}{5} + \frac{32}{3}.
Escolhemos o denominador comum 105 (pois 105=\mathrm{lcm}(7,5,3)) e reescrevemos cada fração:
\frac{2}{7} = \frac{30}{105},\qquad \frac{16}{5} = \frac{336}{105},\qquad \frac{32}{3} = \frac{1120}{105}.
Somando:
\frac{30}{105} + \frac{336}{105} + \frac{1120}{105} = \frac{30+336+1120}{105} = \frac{1486}{105}.
O numerador 1486 é par enquanto 105 não é divisível por 2, e 1486 não tem fatores comuns com 105 além de 1, então essa fração já está na forma irredutível.

Resposta

\displaystyle \frac{1486}{105}

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