Calcule:
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede que a calculemos. Informações importantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Observação importante: a função
só é real para . Portanto, sobre o intervalo a expressão só está definida (no conjunto dos reais) a partir de . Isso significa que, no contexto de integrais reais, devemos interpretar a integral como uma integral imprópria, tomando o limite por vindo pela direita de .
Passo 2
Formalizamos a observação anterior escrevendo a integral como um limite impróprio:
Aqui definimos
com
e, no limite
, o intervalo
aproxima-se de
. O que vamos calcular, na prática, é o valor da integral sobre
tomando o limite pela direita em 4; como a função é integrável em qualquer intervalo
com
, esse procedimento é legítimo.
Passo 3
Para calcular
(e depois fazer
) fazemos a substituição simples
Explicando a ideia: a raiz aparece como
, então escolher
“remove” a expressão dentro da raiz e costuma simplificar a integral. Calculamos o diferencial:
Também mudamos os limites: quando
temos
; quando
temos
. No limite que faremos,
implica
. Assim
onde
.
Passo 4
Agora vamos manipular o integrando. Primeiro expandimos
e multiplicamos por
:
Multiplicando por
obtemos
Portanto a integral fica
Passo 5
Vamos integrar termo a termo usando a regra de potência para integrais: para qualquer
,
Aplicando essa regra a cada termo:
- Para
: o expoente , então
- Para
: fatoramos o e aplicamos a regra com :
- Para
: com ,
Somando as primitivas, uma antiderivada é
Passo 6
Agora avaliamos a integral definida como
:
Calculamos
e
:
Como
, os termos
tendem a
, logo
. Portanto o valor da integral é exatamente
.
Passo 7
Vamos somar as frações
Escolhemos o denominador comum
(pois
) e reescrevemos cada fração:
Somando:
O numerador
é par enquanto
não é divisível por
, e
não tem fatores comuns com
além de
, então essa fração já está na forma irredutível.